Нильрадикал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В коммутативной алгебре, нильрадикал коммутативного кольца — это идеал, состоящий из всех его нильпотентных элементов. Также существует несколько вариантов обобщения этого определения на случай некоммутаитвного кольца.

Коммутативный случай[править | править исходный текст]

Нильрадикал действительно является идеалом, потому что сумма двух нильпотентных элементов нильпотентна (по формуле бинома Ньютона), как и произведение нильпотентного и произвольного элементов. Также нильрадикал можно охарактеризовать как пересечение всех простых идеалов кольца.

Если R — произвольное коммутативное кольцо, то факторкольцо по его нильрадикалу не содержит нильпотентных элементов.

Каждый максимальный идеал прост, поэтому радикал Джекобсона — пересечение всех максимальных идеалов — содержит нильрадикал. В случае артинова кольца они просто совпадают, при этом нильрадикал можно описать как максимальный нильпотентный идеал. В общем случае, если нильрадикал конечно порожден, то он нильпотентен.

Некоммутативный случай[править | править исходный текст]

В некоммутативном случае можно выделить три способа обобщения понятия нильрадикала. Нижний нильрадикал некоммутативного кольца определяется как пересечение всех простых идеалов. Верхний нильрадикал — как идеал, порожденный всеми нильпотентными идеалами. Радикал Левицкого по размеру находится между ними, и определяется как максимальный локально нильпотентный идеал[en]. Если кольцо является нётеровым, все три определения совпадают.

Дитература[править | править исходный текст]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
  • Eisenbud, David, «Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry», Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
  • Lam, Tsit-Yuen (2001), «A First Course in Noncommutative Rings» (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1838439, ISBN 978-0-387-95325-0