Теория полей

Тео́рия поле́й — раздел математики, занимающийся изучением свойств полей, то есть структур, обобщающих свойства сложения, вычитания, умножения и деления чисел.

История

• В 1820—1830-х годах понятие поля неявно использовали Нильс Абель и Эварист Галуа в своих работах по разрешимости уравнений в радикалах.
• В 1871 году Рихард Дедекинд назвал «полем» подмножество действительных или комплексных чисел, замкнутое относительно четырех математических операций.
• В 1881 году Леопольд Кронекер изучал свойства алгебраических числовых полей, называя их «областями рациональности».
• В 1893 году Генрих Вебер дал первое чёткое определение абстрактного поля.
• В 1910 году Эрнст Штайниц опубликовал известную работу Algebraische Theorie der Körper (нем. Алгебраическая теория полей), в которой развил аксиоматическую теорию полей и предложил множество важных концепций, таких как простое поле, совершенное поле и степень трансцендентности расширения поля.

Коммутативность поля

Первые определения поля не включали в себя требование коммутативности умножения, однако современный термин «поле» всегда подразумевает его коммутативность. Структура, удовлетворяющая всем свойствам поля, кроме коммутативности умножения в российской традиции называется телом. Однако по-немецки поле называют Körper (поэтому буква $k$ часто употребляется для обозначения поля), а по-французски — corps, что также переводится как «тело».

Приложения теории полей

Понятие поля используется, например, при определении векторного пространства и, следовательно, представляет большую важность для линейной алгебры. Так же и алгебраическое многообразие — основной объект изучения алгебраической геометрии — определяется над произвольным полем. Алгебраическая теория чисел занимается изучением свойств алгебраических числовых полей и их колец целых; и, конечно, использует результаты классической теории полей.

Конечные поля используются в теории чисел и теории кодирования. В частности, поля характеристики 2 полезно рассматривать в информатике.

Некоторые полезные теоремы

• Теорема о примитивном элементе
• Малая теорема Веддербёрна
• Основная теорема теории Галуа

См. также

• Теория Галуа

Примечания

• Allenby, R. B. J. T. Rings, Fields and Groups. — Butterworth-Heinemann, 1991. — ISBN ISBN 0-340-54440-6.
• Blyth, T. S. Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3 / T. S. Blyth, E. F. Robertson. — Cambridge University Press, 1985. — ISBN ISBN 0-521-27288-2.
• Blyth, T. S. Rings, fields and modules: Algebra through practice, Book 6 / T. S. Blyth, E. F. Robertson. — Cambridge University Press, 1985. — ISBN ISBN 0-521-27291-2.