Совершенное поле

В общей алгебре, поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k.

2) Каждое конечное расширение k является сепарабельным.

3) Каждое алгебраическое расширение k является сепарабельным.

4) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и каждый элемент k является p-й степенью.

5) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом.

6) k совпадает со множеством неподвижных точек k-автоморфизмов алгебраического замыкания k.

В противном случае поле называется несовершенным.

Совершенные поля полезны тем, что теория Галуа над ними становится значительно проще, так как условие сепарабельности расширений поля выполняется автоматически.

Более общо, кольцо характеристики p называется совершенным, если эндоморфизм Фробениуса для него является автоморфизмом. (В случае целостных колец это эквивалентно условию "каждый элемент является p-й степенью).

Примеры

• Все поля характеристики ноль являются совершенными, например, поле рациональных чисел.
• Все конечные поля.
• Все алгебраически замкнутые поля.
• Алгебраические расширения совершенного поля также являются совершенными.

Большинство полей, появляющихся на практике, совершенные. Примеры несовершенных полей доставляет алгебраическая геометрия в характеристике p > 0. Например, поле рациональных функций от одной переменной над полем характеристики p является несовершенным, так как в этом поле отсутствует p-й корень из x.

Совершенное замыкание

В характеристике p > 0 можно «сделать» поле k совершенным, добавив к нему корни p^r-й степени (r≥1) из всех элементов. Получившееся поле называется совершенным замыканием k и обычно обозначается $k^{p^{-\infty }}$.

В терминах универсального свойства, совершенное замыкание кольца $A$ характеристики $p$ — это совершенное кольцо $A_{p}$ характеристики $p$ вместе с гомоморфизмом колец $u:A\to A_{p}$, таким что для любого совершенного кольца $B$ характеристики $p$ с гомоморфизмом $v:A\to B$ существует единственный гомоморфизм $f:A_{p}\to B$, такой что $v=f\circ u$. Совершенное замыкание существует для любого кольца, следовательно, функтор совершенного замыкания существует и является левым сопряженным забывающего функтора из категории совершенных колец в категорию колец.

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
• Bourbaki, Nicolas (2003), Algebra II, Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
• Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory (PDF), Дата обращения: 5 февраля 2010
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67 (2 ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90424-5, MR 0554237
• Cohn, P.M. (2003), Basic Algebra: Groups, Rings and Fields
• Matsumura, H (2003), Commutative ring theory, Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2nd ed.)