Спинорная группа

Запрос «Spin» перенаправляется сюда; о музыкальном журнале см. Spin (журнал).

Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над $V$ (со скалярным произведением), состоящее из элементов вида $q_1\cdot q_2\cdots q_{2n}$, где $q_i \in V$ — единичные векторы. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Спинорная группа над евклидовым пространством $\R^n$ обычно обозначается $\operatorname{Spin}(n)$. Существует короткая точная последовательность

$1\to\mathbb{Z}_2\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)\to 1$

Таким образом спинорная группа является двулистным накрытием специальной ортогональной группы $\operatorname{SO}(n)$. Гомоморфизм $\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)$ может быть построен следующим образом: Каждому единичному вектору q можно сопоставить отражение $R_q$ относительно гиперплоскости, перпендикулярной q. Таким образом, элементу спинорной группы $q_1\cdot q_2\cdots q_{2n}$ можно сопоставить композицию отражений

$R_{q_1,}\circ\cdots\circ R_{q_{2n}}$

которая принадлежит группе $SO(n)$.

Строение первых спинорных групп

$Spin(1) \simeq O(1) \simeq \Z_2 \simeq S^0$

$Spin(2) \simeq U(1) \simeq S^1$

$Spin(3) \simeq Sp(1) \simeq SU(2) \simeq S^3$

$Spin(4) \simeq Sp(1){\times}Sp(1) \simeq SU(2){\times}SU(2) \simeq S^3{\times}S^3$

$Spin(5) \simeq Sp(2)$

$Spin(6) \simeq SU(4)$