Спинорная группа

Запрос «Spin» перенаправляется сюда; о музыкальном журнале см. Spin (журнал).

Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над $V$ (со скалярным произведением), состоящее из элементов вида $q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}$, где $q_{i}\in V$ — единичные векторы. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Спинорная группа над евклидовым пространством $\mathbb {R} ^{n}$ обычно обозначается $\operatorname {Spin} (n)$. Существует короткая точная последовательность

$1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1$

Таким образом спинорная группа является двулистным накрытием специальной ортогональной группы $\operatorname {SO} (n)$. Гомоморфизм $\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$ может быть построен следующим образом: Каждому единичному вектору q можно сопоставить отражение $R_{q}$ относительно гиперплоскости, перпендикулярной q. Таким образом, элементу спинорной группы $q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}$ можно сопоставить композицию отражений

$R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n}}$

которая принадлежит группе $\operatorname {SO} (n)$.

Строение первых спинорных групп

$\operatorname {Spin} (1)\simeq \operatorname {O} (1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq S^{0}$

$\operatorname {Spin} (2)\simeq \operatorname {U} (1)\simeq S^{1}$

$\operatorname {Spin} (3)\simeq \operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2)\simeq S^{3}$

$\operatorname {Spin} (4)\simeq \operatorname {Sp} (1){\times }\operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2){\times }\operatorname {SU} (2)\simeq S^{3}{\times }S^{3}$

$\operatorname {Spin} (5)\simeq \operatorname {Sp} (2)$

$\operatorname {Spin} (6)\simeq \operatorname {SU} (4)$