Спинорная группа

Запрос «Spin» перенаправляется сюда; о музыкальном журнале см. Spin (журнал).

Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над $V$$V$ (со скалярным произведением), состоящее из элементов вида $q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}$$q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}$, где $q_{i}\in V$$q_{i}\in V$ — единичные векторы. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Спинорная группа над евклидовым пространством $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$ обычно обозначается $\operatorname {Spin} (n)$$\operatorname {Spin} (n)$. Существует короткая точная последовательность

$1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1$$1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1$

Таким образом спинорная группа является двулистным накрытием специальной ортогональной группы $\operatorname {SO} (n)$$\operatorname {SO} (n)$. Гомоморфизм $\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$$\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$ может быть построен следующим образом: Каждому единичному вектору q можно сопоставить отражение $R_{q}$$R_{q}$ относительно гиперплоскости, перпендикулярной q. Таким образом, элементу спинорной группы $q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}$$q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}$ можно сопоставить композицию отражений

$R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n}}$$R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n}}$

которая принадлежит группе $SO(n)$$SO(n)$.

Строение первых спинорных групп

$Spin(1)\simeq O(1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq S^{0}$$Spin(1)\simeq O(1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq S^{0}$

$Spin(2)\simeq U(1)\simeq S^{1}$$Spin(2)\simeq U(1)\simeq S^{1}$

$Spin(3)\simeq Sp(1)\simeq SU(2)\simeq S^{3}$$Spin(3)\simeq Sp(1)\simeq SU(2)\simeq S^{3}$

$Spin(4)\simeq Sp(1){\times }Sp(1)\simeq SU(2){\times }SU(2)\simeq S^{3}{\times }S^{3}$$Spin(4)\simeq Sp(1){\times }Sp(1)\simeq SU(2){\times }SU(2)\simeq S^{3}{\times }S^{3}$

$Spin(5)\simeq Sp(2)$$Spin(5)\simeq Sp(2)$

$Spin(6)\simeq SU(4)$$Spin(6)\simeq SU(4)$