Статистическая оценка

Статистическая оценка — это статистика, которая используется для оценивания неизвестных параметров распределений случайной величины.

Определение

Например, если $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — это независимые случайные величины, с заданным нормальным распределением $N(\mu ,1)$, то $\mu$ будет средним арифметическим результатов наблюдений.

Задача статистической оценки формулируется так:

Пусть $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ — выборка из генеральной совокупности с распределением $F_{\xi }(x,\theta )$. Распределение $F_{\xi }$ имеет известную функциональную форму, но зависит от неизвестного параметра $\theta$. Этот параметр может быть любой точкой заданного параметрического множества $\Theta$. Используя статистическую информацию, содержащуюся в выборке $\xi$, сделать выводы о настоящем значении параметра $\theta$.

Точечная оценка

Основная статья: Точечная оценка

Оценка является случайной величиной так как представляет собой функцию от случайных величин $X_{1},\ldots ,X_{n}$:

${\hat {\theta }}={\hat {\theta }}(X_{1},\ldots ,X_{n})$

Функция распределения оценки зависит от распределения величины $X$ (и от параметра $\theta$), а также от размера выборки $n$.

Оценка ${\hat {\theta }}$ может обладать рядом «хороших» свойств:

• Состоятельная оценка — при увеличении числа опытов оценка ${\hat {\theta }}$ сходится по вероятности к параметру $\theta$
• Несмещённая оценка — если математическое ожидание оценки совпадает с оцениваемым параметром $M[{\hat {\theta }}]=\theta$
• Эффективная оценка — если дисперсия несмещённой оценки $D[{\hat {\theta }}]$ является минимальной по сравнению с другими оценками

На практике не всегда есть возможность получать оценки с заданными свойствами, из-за чего приходится довольствоваться компромиссными вариантами.

Интервальная оценка

Основная статья: Интервальная оценка

Для оценивания промежутка, на котором лежит оцениваемый параметр $\theta$, можно использовать следующие методы:

• Метод доверительных интервалов
• Метод фидуциальных интервалов
• Достоверный Байесовский интервал (англ. Credible interval)

См. также

• Достаточная статистика

Литература

•  Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969.
• Кендалл Морис Дж., Стьюарт Алан. Статистические выводы и связи. — М.: Наука. 1973.

Ссылки

• vseslova — Статистические оценки
• Shao, Jun (1998), Mathematical Statistics, New York: Springer, ISBN 0-387-98674-X
• Bol’shev, L. N. (2001), Statistical Estimator, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104