Сумма трёх кубов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Полулогарифмический график решений x3 + y3 + z3 = n для целых чисел x, y и z и n в интервале [0, 100]. Зелёные полосы обозначают доказанное отсутствие решения

Сумма трёх кубов — в математике открытая проблема о представимости целого числа в виде суммы трёх кубов целых (положительных или отрицательных) чисел.

Соответствующее диофантово уравнение записывается как Необходимое условие для представимости числа в виде суммы трёх кубов: не равно 4 или 5 по модулю 9.

В вариантах задачи число надо представить суммой кубов только неотрицательных или рациональных чисел. Любое целое число представимо в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой асимптотической плотностью.

История[править | править код]

Вопрос о представлении произвольного целого числа в виде суммы трёх кубов существует уже около 200 лет, первое известное параметрическое решение в рациональных числах дано С. Рили в 1825 году. Параметрические решения в целых числах находят для  — в 1908 году А. С. Веребрюсов[1] (учитель математики Феодосийской мужской гимназии, сын С. И. Веребрюсова), для  — в 1936 году Малер[2].

Решения[править | править код]

Необходимое условие для представимости числа в виде суммы трёх кубов: не равно 4 или 5 по модулю 9; так как куб любого целого числа по модулю 9 равен 0, 1 или −1, то сумма трёх кубов не может дать 4 или 5 по модулю 9[3]. Неизвестно, является ли это условие достаточным.

В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что любое неравное 4 или 5 по модулю 9 имеет бесконечно много представлений в виде сумм трёх кубов[4].

Однако неизвестно, разрешимо ли алгоритмически представление чисел в виде суммы трёх кубов, то есть может ли алгоритм за конечное время проверить существование решения для любого заданного числа. Если гипотеза Хита-Брауна верна, то проблема разрешима, и алгоритм может правильно решить задачу. Исследование Хита-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, как далеко алгоритму придется искать, чтобы найти явное представление, а не просто определить, существует ли оно[4].

Случай , представление которого в виде суммы кубов долгое время не было известно, использован Бьорном Пуненом в качестве вводного примера в обзоре неразрешимых проблем теории чисел, из которых десятая проблема Гильберта является наиболее известным примером[5].

Небольшие числа[править | править код]

Для существуют только тривиальные решения

Нетривиальное представление 0 в виде суммы трёх кубов дало бы контрпример к доказанной Леонардом Эйлером последней теореме Ферма для степени 3[6]: поскольку один из трёх кубов будет иметь противоположный к двум другим числам знак, следовательно его отрицание равно сумме этих двух.

Для и существует бесконечное число семейств решений, например (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):

Существуют другие представления и другие параметризованные семейства представлений для 1[7]. Для 2 другими известными представлениями являются[7][8]

Эти равенства можно использовать для разложения любого куба или удвоенного куба на сумму трёх кубов[1][9].

Однако 1 и 2 являются единственными числами с представлениями, которые могут быть параметризованы полиномами четвёртой степени[10]. Даже в случае представлений Луи Дж. Морделл написал в 1953 году: «я ничего не знаю», кроме небольших решений

и ещё того, что все три куба должны быть равны 1 по модулю 9[11][12]. 17 сентября 2019 года Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, нашедшие представление для сложных случаев 33 и 42 (см. ниже), опубликовали ещё одно представление 3, для нахождения которого было затрачено 4 млн. часов в вычислительной сети Charity Engine[13][14]:

Остальные числа[править | править код]

С 1955 года, вслед за Морделлом, многие исследователи осуществляют поиск решений с помощью компьютера[15][16][8][17][18][19][20][2][21][22].

В 1954 году Миллер и Вуллетт находят представления для 69 чисел от 1 до 100. В 1963 году Гардинер, Лазарус, Штайн исследуют интервал от 0 до 999, они находят представления для многих чисел, кроме 70 чисел, из которых 8 значений меньше 100. В 1992 году Хит-Браун и др. нашли решение для 39. В 1994 году Кояма, используя современные компьютеры, находит решения для ещё 16 чисел от 100 до 1000. В 1994 году Конн и Вазерштайн — 84 и 960. В 1995 году Бремнер — 75 и 600, Люкс — 110, 435, 478. В 1997 году Кояма и др. — 5 новых чисел от 100 до 1000. В 1999 году Элкис — 30 и ещё 10 новых чисел от 100 до 1000. В 2007 году Бек и др. — 52, 195, 588[2]. В 2016 году Хёйсман — 74, 606, 830, 966[22].

Elsenhans и Jahnel в 2009 году[21] использовали метод Элкиса[20], применяющий редуцирование базиса решётки для поиска всех решений диофантова уравнения для положительных не больше 1000 и для [21], затем Хёйсман в 2016 году[22] расширил поиск до .

Весной 2019 года Эндрю Букер (Бристольский университет) разработал другую стратегию поиска со временем расчётов пропорциональным , а не их максимуму, и нашёл представление 33 и 795[23][24][25]:

В сентябре 2019 года Букер и Эндрю Сазерленд закрыли интервал до 100, найдя представление 42, для чего было затрачено 1,3 миллиона часов расчёта в глобальной вычислительной сети Charity Engine[26]:

Позже, в этом же месяце, они нашли разложение числа 906 [27]:

А затем 165[28]:

На 2019 год были найдены представления всех чисел до 100, не равных 4 или 5 по модулю 9. Остаются неизвестными представления для 8 чисел от 100 до 1000: 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921, 975[26].

Наименьший нерешённый случай — [26].

Варианты[править | править код]

Существует вариант задачи, в котором число необходимо представить в виде суммы трёх кубов неотрицательных целых чисел, эта задача связана с проблемой Варинга. В XIX веке Карл Густав Якоб Якоби и его коллеги составили таблицы решений этой задачи[29]. Предполагается, но не доказано, что представимые числа имеют положительную асимптотическую плотность[30][31], хотя Тревор Вули показал, что таким образом возможно представить чисел в интервале от до [32][33][34]. Плотность не более [3].

Ещё один вариант — с рациональными числами. Известно, что любое целое число может быть представлено в виде суммы трёх кубов рациональных чисел[35][36].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 А. С. Веребрюсовъ (1908), "Объ уравненiи x3 + y3 + z3 = 2u3", Математический сборник Т. 26 (4): 622–624, <http://mi.mathnet.ru/msb6615> 
  2. 1 2 3 Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne & Yarbrough Jensen, Kim (2007), "New integer representations as the sum of three cubes", Mathematics of Computation Т. 76 (259): 1683–1690, DOI 10.1090/S0025-5718-07-01947-3 
  3. 1 2 Davenport, H. (1939), "On Waring's problem for cubes", Acta Mathematica Т. 71: 123–143, DOI 10.1007/BF02547752 
  4. 1 2 Heath-Brown, D. R. (1992), "The density of zeros of forms for which weak approximation fails", Mathematics of Computation Т. 59 (200): 613–623, DOI 10.2307/2153078 
  5. Poonen, Bjorn (2008), "Undecidability in number theory", Notices of the American Mathematical Society Т. 55 (3): 344–350, <https://www.ams.org/notices/200803/tx080300344p.pdf> 
  6. Machis, Yu. Yu. (2007), "On Euler's hypothetical proof", Mathematical Notes Т. 82 (3): 352–356, DOI 10.1134/S0001434607090088 
  7. 1 2 Avagyan, Armen & Dallakyan, Gurgen (2018), A new method in the problem of three cubes, DOI 10.13189/ujcmj.2017.050301 
  8. 1 2 Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M. & te Riele, H. J. J. (1993), "On solving the Diophantine equation on a vector computer", Mathematics of Computation Т. 61 (203): 235–244, doi:10.2307/2152950, <https://ir.cwi.nl/pub/5502> 
  9. Mahler, Kurt (1936), "Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood", Journal of the London Mathematical Society Т. 11 (2): 136–138, DOI 10.1112/jlms/s1-11.2.136 
  10. Mordell, L. J. (1942), "On sums of three cubes", Journal of the London Mathematical Society, Second Series Т. 17 (3): 139–144, DOI 10.1112/jlms/s1-17.3.139 
  11. Mordell, L. J. (1953), "On the integer solutions of the equation ", Journal of the London Mathematical Society, Second Series Т. 28: 500–510, DOI 10.1112/jlms/s1-28.4.500 
  12. The equality mod 9 of numbers whose cubes sum to 3 was credited to J. W. S. Cassels by Mordell (1953), but its proof was not published until Cassels, J. W. S. (1985), "A note on the Diophantine equation ", Mathematics of Computation Т. 44 (169): 265–266, DOI 10.2307/2007811 .
  13. Lu, Donna Mathematicians find a completely new way to write the number 3. New Scientist (18 September 2019). Дата обращения 11 октября 2019.
  14. markmcan. Insanely huge sum-of-three cubes for 3 discovered – after 66 year search. [твит]. Твиттер (17 September 2019).
  15. Miller, J. C. P. & Woollett, M. F. C. (1955), "Solutions of the Diophantine equation ", Journal of the London Mathematical Society, Second Series Т. 30: 101–110, DOI 10.1112/jlms/s1-30.1.101 
  16. Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B. & Stein, P. R. (1964), "Solutions of the diophantine equation ", Mathematics of Computation Т. 18 (87): 408–413, DOI 10.2307/2003763 
  17. Conn, W. & Vaserstein, L. N. (1994), "On sums of three integral cubes", The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992), vol. 166, Contemporary Mathematics, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, с. 285–294, DOI 10.1090/conm/166/01628 
  18. Bremner, Andrew (1995), "On sums of three cubes", Number theory (Halifax, NS, 1994), vol. 15, CMS Conference Proceedings, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, с. 87–91 
  19. Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio & Sekigawa, Hiroshi (1997), "On searching for solutions of the Diophantine equation ", Mathematics of Computation Т. 66 (218): 841–851, DOI 10.1090/S0025-5718-97-00830-2 
  20. 1 2 Elkies, Noam D. (2000), "Rational points near curves and small nonzero via lattice reduction", Algorithmic number theory (Leiden, 2000), vol. 1838, Lecture Notes in Computer Science, Springer, Berlin, с. 33–63, DOI 10.1007/10722028_2 
  21. 1 2 3 Elsenhans, Andreas-Stephan & Jahnel, Jörg (2009), "New sums of three cubes", Mathematics of Computation Т. 78 (266): 1227–1230, DOI 10.1090/S0025-5718-08-02168-6 
  22. 1 2 3 Huisman, Sander G. (2016), Newer sums of three cubes 
  23. Kalai, Gil (March 9, 2019), Combinatorics and more, <https://gilkalai.wordpress.com/2019/03/09/8866128975287528%C2%B3-8778405442862239%C2%B3-2736111468807040%C2%B3/> 
  24. Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33, University of Bristol, <https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf> 
  25. Booker, Andrew R. (2019), "Cracking the problem with 33", Research in Number Theory, vol. 5:26, Springer, DOI 10.1007/s40993-019-0162-1 
  26. 1 2 3 Houston, Robin (September 6, 2019), 42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)3 + 804357581458175153 + 126021232973356313?', <https://aperiodical.com/2019/09/42-is-the-answer-to-the-question-what-is-80538738812075974³-80435758145817515³-12602123297335631³/> 
  27. Andrew V. Sutherland personal webpage. Дата обращения 20 сентября 2019.
  28. Andrew V. Sutherland personal webpage. Дата обращения 30 сентября 2019.
  29. Dickson, Leonard Eugene (1920), History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis, Carnegie Institution of Washington, с. 717, <https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft/page/716> 
  30. Balog, Antal & Brüdern, Jörg (1995), "Sums of three cubes in three linked three-progressions", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik Т. 1995 (466): 45–85, DOI 10.1515/crll.1995.466.45 
  31. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François & Landreau, Bernard (2006), "On the density of sums of three cubes", in Hess, Florian; Pauli, Sebastian & Pohst, Michael, Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23-28, 2006, Proceedings, vol. 4076, Lecture Notes in Computer Science, Berlin: Springer, с. 141–155, DOI 10.1007/11792086_11 
  32. Wooley, Trevor D. (1995), "Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behaviour", Inventiones Mathematicae Т. 122 (3): 421–451, DOI 10.1007/BF01231451 
  33. Wooley, Trevor D. (2000), "Sums of three cubes", Mathematika Т. 47 (1–2): 53–61 (2002), DOI 10.1112/S0025579300015710 
  34. Wooley, Trevor D. (2015), "Sums of three cubes, II", Acta Arithmetica Т. 170 (1): 73–100, DOI 10.4064/aa170-1-6 
  35. Richmond, H. W. (1923), "On analogues of Waring's problem for rational numbers", Proceedings of the London Mathematical Society, Second Series Т. 21: 401–409, DOI 10.1112/plms/s2-21.1.401 
  36. Davenport, H. & Landau, E. (1969), "On the representation of positive integers as sums of three cubes of positive rational numbers", Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau), New York: Plenum, с. 49–53 

Ссылки[править | править код]