Куб (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
y=x³, при целых значениях x на отрезке от 1 до 25

Кубом числа называется результат возведения числа в степень 3, то есть произведение трёх множителей, каждый из которых равен данному числу. Куб величины x обозначается как x с верхним индексом 3:

x^3=x \cdot x \cdot x

Последовательность кубов[править | править вики-текст]

Последовательность кубов неотрицательных чисел начинается числами[1]:

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Сумма кубов первых n положительных натуральных чисел вычисляется по формуле:

\sum_{i=1}^n i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left(\frac {n(n+1)}{2}\right)^2

Вывод формулы[править | править вики-текст]

Формулу суммы кубов можно вывести, используя таблицу умножения и формулу суммы арифметической прогрессии[2]. Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.

Таблица умножения и кубы чисел
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25
Таблица умножения и арифметическая прогрессия
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25

Сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области первой таблицы:

k^2+2 k\sum_{l=1}^{k-1} l=k^2+2k\frac{k(k-1)}{2}=k^3

А сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области второй таблицы, представляющих собой арифметическую прогрессию:

k\sum_{l=1}^{n} l=k\frac{n(n+1)}{2}

Суммируя по всем выделенным областям первой таблицы, получаем такое же число, как и суммируя по всем выделенным областям второй таблицы:

\sum_{k=1}^n k^3=\sum_{k=1}^n k\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\sum_{k=1}^n k=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Геометрический смысл[править | править вики-текст]

Куб числа равен объёму куба с длиной ребра, равной этому числу.

Некоторые свойства[править | править вики-текст]

  • В десятичной записи куб может кончаться на любую цифру (в отличие от квадрата)
  • В десятичной записи две последние цифры куба могут быть 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Зависимость предпоследней цифры куба от последней можно представить в виде следующей таблицы:
последняя
цифра
предпоследняя
цифра
0 0
5 2, 7
4, 8 чётная
2, 6 нечётная
1, 3, 7, 9 любая

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Статья A000578 в OEIS = The cubes: a(n) = n^3
  2. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—70.