Теорема Атьи — Зингера об индексе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Атьи — Зингера об индексе — утверждение о равенстве аналитического и топологических индексов эллиптического оператора на замкнутом многообразии[1]. Установлено и доказано в 1963 году Майклом Атьёй и Изадором Зингером.

Результат способствовал обнаружению новых связей между алгебраической топологией, дифференциальной геометрией и глобальным анализом[2], нашёл применение в теоретической физике, а исследование его обобщений сформировалось в отдельное направление -теории — теорию индекса[3].

Определения и формулировка[править | править код]

Аналитический индекс дифференциального оператора , где и  — гладкие векторные расслоения над дифференцируемым замкнутым многообразием , — это разность между размерностями его ядра и коядра:

.

Для эллиптических операторов эти размерности конечны.

Топологический индекс эллиптического оператора определяется как:

,

где  — символ оператора , определяющий изоморфизм поднятий ,  — расслоение единичных сфер кокасательного расслоения многообразия ,  — расслоение над склейкой двух экземпляров пространства расслоений единичных шаров в ( — край );  — когомологический характер Чженя расслоения ;  — когомологический класс Тодда комплексифицированного кокасательного расслоения ; ; , а часть «» означает взятие -мерной компоненты элемента на фундаментальном цикле многообразия .

Утверждение теоремы заключается в равенстве аналитического и топологического индекса эллиптических операторов на замкнутых многообразиях.

История[править | править код]

Частные проявления соотношения, выраженного в теореме об индексе, были обнаружены ещё в XIX веке, такова, например, формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы, а также её многомерные обобщения. Ещё одно проявление такой связи — теорема Римана — Роха для неособых алгебраических кривых (1865) и её обобщение на произвольные векторные расслоения на компактных комплексных многообразиях — теорема Римана — Роха — Хирцебруха[en] (1954).

Вопрос о возможном соотношении аналитического индекса эллиптических операторов и их топологических характеристик сформулировал Израиль Гельфанд в 1960 году[4], обратив внимание на инвариантность аналитического индекса относительно деформаций оператора. В 1963 году Атьёй и Зингером найдена такая топологическая характеристика; в 1964 году опубликовано доказательство для многообразий с краем. Первые варианты доказательства использовали технику, сходную с доказательством Фридриха Хирцебруха обобщения гипотезы Римана — Роха, в значительной степени привлекали средства теории когомологий и кобордизмов и отличались значительной технической сложностью[5]. Через несколько лет формулировка и доказательство были переведены на язык -теории, тем самым доказательство существенно упрощено, и открыта возможность для дальнейших обобщений, и в 1970-е — 1990-е годы аналоги теоремы были получены для более широких и различных специальных классов объектов.

Теорема об индексе (наряду с -теорией и аналогом формулы Лефшеца для эллиптических операторов) была упомянута в номинации Атьи на Филдсовскую премию 1966 года. В 2004 году за теорему об индексе Атья и Зингер удостоены премии Абеля[6].

Следствия[править | править код]

Из теоремы следует, что топологический индекс эллиптического оператора на замкнутом многообразии — целое число[1]. Другое следствие — аналитический и топологический индексы для оператора на многообразии нечётной размерности равны нулю[1].

Теорема Римана — Роха и её обобщения — теорема Римана — Роха — Хирцебруха[en] и теорема Римана — Роха — Гротендика[en] — естественные следствия теоремы об индексе.

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 Сарданашвили Г. А. Геометрия и квантовые поля. — Современные методы теории поля. — М.: УРСС, 2000. — Т. 4. — С. 146. — 160 с.
  2. Science Lives: Michael Atiyah (англ.). Simons Foundation.
  3. 19K56 — Index theory. Mathematical Subject Classification. AMS (2010). Дата обращения: 30 августа 2014.
  4. И. М. Гельфанд. Об эллиптических уравнениях (рус.) // Успехи математических наук. — Российская академия наук, 1960. — Т. 15, вып. 9, № 93. — С. 121—132. — ISSN 0042-1316. — doi:10.1070/RM1960v015n03ABEH004094.
  5. Атья, Зингер, 1968.
  6. Старую теорему оценили по заслугам. MIGNews.com.

Литература[править | править код]