Число Лефшеца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Число Лефшеца — определённая целочисленная характеристика отображения топологического пространства в себя.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — топологическое пространство,  — непрерывное отображение,  — группы гомологий с коэффициентами в поле . Пусть  — след линейного преобразования

По определению, число Лефшеца отображения есть

Свойства[править | править вики-текст]

  • Число Лефшеца определено если общий ранг групп конечен, и в этом случае не зависит от выбора .

Формула Лефшеца[править | править вики-текст]

Пусть  — связное ориентируемое -мерное компактное топологическое многообразие или -мерный конечный клеточный комплекс,  — непрерывное отображение.

Предположим, что все неподвижные точки отображения изолированы.

Для каждой неподвижной точки , обозначим через её индекс Кронекера (локальная степень отображения в окрестности точки ). Тогда формула Лефшеца для и имеет вид

  • В частности, если отображение конечного клеточного комплекса не имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца равно нулю.

История[править | править вики-текст]

Эта формула была установлена впервые Лефшецем для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и позже для конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения -мерной сферы в себя.