Теорема Крейна — Мильмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Extreme points.svg

Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах.

Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора или эквивалентных ей утверждений теории множеств.

Доказана советскими математиками Марком Григорьевичем Крейном и Давидом Пинхусовичем Мильманом (1940).

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть  — локально-выпуклое пространство,  — выпуклый компакт в ,  — совокупность крайних точек . Тогда совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества .


Доказательство[править | править вики-текст]

Пусть — выпуклая оболочка крайних точек . Так как компактно и выпукло, то замыкание Поэтому компактно. Предположим, что некоторая точка и . Применяя теорему Хана — Банаха к и , показать, что ( — теорема Хана — Банаха). Таким образом мы получаем противоречие построению . Шаблон:Ч.т.д

Приложения[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа, 1988.