Теорема Рауса — Гурвица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Ра́уса — Гу́рвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 г. А. Гурвицем и названа в честь Э. Дж. Рауса (предложившего в 1876 г. другой — но эквивалентный критерию Гурвица — критерий устойчивости многочлена) и А. Гурвица[1].

Условные обозначения[править | править вики-текст]

Пусть  — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени . При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии где  — мнимая единица и  — вещественное число). Давайте обозначим (многочлен степени ) и (ненулевой многочлен степени строго меньшей, чем ) через , относительно вещественной и мнимой части мнимой линии.

Введём следующие обозначения:

  •  — число корней в левой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
  •  — число корней в правой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
  •  — изменение аргумента , когда пробегает от до ;
  •  — число изменений обобщённой цепочки Штурма, полученной из и с помощью алгоритма Евклида;

Пусть  — многочлен Гурвица над полем комплексных чисел (т. е. он не имеет комплексных коэффициентов и все его корни лежат в левой полуплоскости). Разложим в сумму:

.

Обозначим коэффициенты как , а  — как . Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена является .

Формулировка[править | править вики-текст]

В обозначениях, введённых выше, теорема Рауса — Гурвица формулируется следующим образом:

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента положительно, тогда имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма. Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть , а из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае относится к обобщённой цепочке Штурма).

Критерий устойчивости Гурвица[править | править вики-текст]

Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если  — многочлен Гурвица, и наоборот.

Критерий устойчивости Рауса[править | править вики-текст]

Цепочка Штурма, начинающаяся многочленами и , определяет последовательность ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если  — многочлен Гурвица, и наоборот.

  • Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
  • Обратите также внимание, что в записи число  — индекс переменной, а не показатель степени.

Эквивалентность[править | править вики-текст]

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют устойчивые по Гурвицу многочлены.

Доказательство[править | править вики-текст]

Применив метод Гаусса к матрице мы получим диагональную матрицу . Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу , мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты соответствуют коэффициентам , мы и получим критерий Рауса.

Критерий Рауса — Гурвица[править | править вики-текст]

Из этой теоремы легко следует критерий устойчивости, так как  — устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда . Таким образом получаем условия на коэффициенты , накладывая дополнительные условия и .

Наравне с теоремой Стилтьеса, теорема Рауса — Гурвица даёт способы характеризации устойчивых многочленов. Устойчивость — свойство, важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразование устойчиво. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме устойчивости «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критериев Рауса и Гурвица даёт больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]