Мера иррациональности

Мера иррациональности действительного числа $\alpha$ — это действительное число $\mu$, показывающее, насколько хорошо $\alpha$ может быть приближено рациональными числами.

Определение

Пусть $\alpha$ — действительное число, и пусть $M(\alpha )$ — множество всех чисел $\mu$ таких, что неравенство $0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}$ имеет лишь конечное число решений в целых числах $p$ и $q>0$:

$M(\alpha )=\left\{\mu >0\colon (\exists q_{0}=q_{0}(\mu ,\;\alpha ))\;(\forall p,\;q\in \mathbb {Z} )\;q>q_{0}\Rightarrow \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu }}}\lor \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=0\right\}.$

Тогда мера иррациональности $\mu (\alpha )$ числа $\alpha$ определяется как точная нижняя грань $M(\alpha )$:

$\mu (\alpha )=\inf M(\alpha ).$

Если $M(\alpha )=\varnothing$, то полагают $\mu (\alpha )=+\infty$.

Другими словами, $\mu$ — наименьшее число, такое, что для любого $\varepsilon >0$ для всех рациональных приближений ${\frac {p}{q}}$ с достаточно большим знаменателем верно, что $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu +\varepsilon }}}$.

Возможные значения меры иррациональности

• $\mu (\alpha )=1$ тогда и только тогда, когда $\alpha$ — рациональное число.
• Если $\alpha$ — алгебраическое иррациональное число, то $\mu (\alpha )=2$.
• Если $\alpha$ — трансцендентное число, то $\mu (\alpha )\geqslant 2$. В частности, если $\mu (\alpha )=+\infty$, то число $\alpha$ называют лиувиллевым числом.

Связь с цепными дробями

Если $\alpha =[a_{0};\;a_{1},\;a_{2},\;\ldots ]$ — разложение числа $\alpha$ в цепную дробь, и ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ — $n$-ая подходящая цепная дробь, то

$\mu (\alpha )=1+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}=2+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}.$

С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения $\varphi =[1;\;1,\;1,\;\ldots ]$, и тогда $\mu (\varphi )=2$.

Теорема Туэ — Зигеля — Рота

По лемме Дирихле, если $\alpha$ иррационально, то существует бесконечное количество таких p и q, что $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$, то есть $\mu (\alpha )\geqslant 2$. В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа $\alpha$ степени $n$ можно подобрать константу $c=c(\alpha )$ такую, что $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {c}{q^{n}}}$. В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют теоремой Туэ — Зигеля — Рота. Она утверждает, что если $\alpha$ — алгебраическое иррациональное число, то $\mu (\alpha )=2$. За это доказательство Рот получил Филдсовскую премию.

Мера иррациональности некоторых трансцендентных чисел

Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что $\mu \left(e\right)=2$, а также известны числа Лиувилля, которые по определению имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. Например:

• $\mu \left(\pi \right)\leqslant 7{,}103205334137$
• $\mu \left(\zeta \left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891$
• $\mu \left(\ln 3\right)\leqslant 5{,}116201$
• $\mu \left(\pi ^{2}\right)\leqslant 5{,}09541179$
• $\mu \left({\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\right)\leqslant 4{,}230464$
• $\mu \left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391$

См. также

• Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
• Цепная дробь

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Irrationality Measure (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.