Золотое сечение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Иррациональные числа
ζ(3) — ρ — 2 — 3 — 5ln 2φ,Φ — ψα,δ — eeπ и π
Система счисления Оценка числа Φ
Десятичная 1.6180339887498948482…
Двоичная 1.1001111000110111011…
Шестнадцатеричная 1.9E3779B97F4A7C15F39…
Шестидесятеричная 1; 37 04 55 20 29 39 …
Рациональные приближения 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; …

, где  — числа Фибоначчи (перечислено в порядке увеличения точности)

Непрерывная дробь

Золото́е сече́ние (золота́я пропо́рция, иначе: деле́ние в кра́йнем и сре́днем отноше́нии, гармони́ческое деление) — отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и наибольшей части к целому равны. Такие отношения наблюдаются в природе, открыты в науке и соблюдаются в искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре. Соотношение двух величин и , при котором бо́льшая величина относится к меньшей так же, как сумма этих величин к бо́льшей, то есть , является универсальным. Отсюда название, которое впервые появилось в эпоху Возрождения, в частности в трактате францисканского монаха, математика Луки Пачоли Божественная пропорция (лат. De Divina Proportione (1509 год), но закономерность подобных отношений была известна гораздо раньше: в Древней Месопотамии, Египте и античной Греции.

Исторически в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка точкой на две части так, что бо́льшая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: Это понятие было распространено не только на отрезки, но и на произвольные величины.

Число, равное отношению обычно обозначается прописной греческой буквой (фи), в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия[2], реже — греческой буквой (тау).

Из исходного равенства (например, принимая за 1, за неизвестную переменную и за и решая получившуюся систему уравнений ) получается квадратное уравнение:

а после его решения и число:

Обратное число, обозначаемое строчной буквой [2],

Легко видеть, что

Число называется также золотым числом.

Для практических целей обычно ограничиваются приблизительным значением или В процентах округлённое значение золотое сечение — это деление некоторой величины в отношении 62 % и 38 %.

Иллюстрация к определению

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств (например, 2 =  + 1), но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства[3][4][5].

История[править | править код]

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (около 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника[6].

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, усматривал в этой пропорции «божественную суть», выражающую триединство Бога Отца, Сына и Святого Духа[7].

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввёл в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке[8] или относят появление этого термина к XVI веку[9], самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году, а именно в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика»[10], в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (нем. goldener Schnitt). Из текста этого примечания следует, что Ом не придумал этот термин сам[11][12], хотя некоторые авторы утверждают обратное[13]. Тем не менее, исходя из того, что в первом издании своей книги Ом уже не употреблял этот термин[14], Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX века[15]. Марио Ливио считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года.[16] В любом случае именно после Ома термин стал распространён в немецкой математической литературе[17].

Математические свойства[править | править код]

  • Если угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника, относящейся к большей стороне как 1:2, поделить пополам, то по формуле тангенса половинного угла получится соотношение:
  • представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:
  • представляется в виде бесконечной цепной дроби
подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи . Таким образом,
Отрезание квадрата от прямоугольника, имеющего золотую пропорцию
  • Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного с золотой пропорцией, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон что и у исходного прямоугольника
  • Продолжая отрезать квадраты против часовой стрелки получим согласно рисунку координаты предельной точки Более того, это точка будет лежать на пересечении диагоналей первого и второго прямоугольников.
Золотое сечение в пятиконечной звезде
  • В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится другим отрезком, пересекающим его, в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между любыми соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно
Построение золотого сечения
  • Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка можно построить следующим образом: в точке проводят перпендикуляр к откладывают на нём отрезок равный половине на отрезке откладывают отрезок равный и наконец на отрезке откладывают отрезок равный Тогда:
Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения
  • Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — это начертить квадрат ABCD со стороной 1, после этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что AE = DE = 1/2, далее от точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора . Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до прямой, где лежит сторона AD и точка пересечения где будет называться Н. Стороны BE, СЕ и ЕН равны как радиусы окружности. Так как АН = АЕ + ЕН, то отрезок АН длины и будет результатом. Кроме того, поскольку DH = EH – ED, отрезок DH будет иметь длину [18].
  • Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
  • Значения дробной части чисел и в любой системе счисления будут равны[19].
где  — биномиальный коэффициент, тогда как [источник не указан 2957 дней]

Золотое сечение в физике, геометрии, химии[править | править код]

Общее сопротивление этой бесконечной цепи равно

Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная электрическая цепь, приведённая на рисунке, имеет общее сопротивление (между двумя левыми концами)

Отношение амплитуд колебаний и частот ~Ф

Существуют колебательные системы, физические характеристики которых (отношения частот, амплитуд и др.) пропорциональны золотому сечению. Самый простой пример — система из двух шариков, соединённых последовательно пружинами одинаковой жёсткости (см. рисунок)[20].

Более сложные примеры механических колебаний и их обобщений рассматриваются в этой[прояснить] же книге, в главе «Обобщения одной простой задачи по механике». В книге приведено много примеров проявления и применения золотого сечения в различных областях наук — небесной механике, физике, геофизике, биофизике, физической химии, биологии, Физиологии.

Золотое сечение тесно связано с симметрией пятого порядка, наиболее известными трёхмерными представителями которой являются додекаэдр и икосаэдр. Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках атомов бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию[21]. Молекула воды, у которой угол между связями Н-О равен 104,70, то есть близок к 108 градусам (равен углу в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так, в разреженной плазме был обнаружен ион Н+20)21, который представляет собой ион Н30+, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра[22]. В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения, содержащие гексааквакомплекс кальция, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра[23]. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединённых в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды[24].

Золотое сечение и гармония в искусстве[править | править код]

Иллюстрация композиционного значения золотого сечения.

Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:

  • Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона близки к золотому сечению.
  • По мнению Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д.
  • Использование пропорции «золотого сечение» в пропорциях канонов человеческого тела, судя по историческим документам[каким?], вызывает очень большие сомнения. Начиная с работы Адольфа Цейзинга сформировалась целая система мифов о «золотом сечении»[25].
Один из типов мозаики Пенроуза

Возможные примеры сознательного использования[править | править код]

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения»[источник не указан 55 дней]. Российский зодчий И. В. Жолтовский использовал золотое сечение в своих проектах[26].

Иоганн Себастьян Бах в своей трёхголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются за счёт ферматы в 34 такте)[27].

Современными примерами применения золотого сечения может служить мозаика Пенроуза и пропорции государственного флага Того.

Золотое сечение в биологии и медицине[править | править код]

Золотое сечение в природе

Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры или параметры биоритмов[28][неавторитетный источник] и др.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Взята из примера результата компьютерного расчета (1996 года) с гораздо большим числом знаков, чем 1000 Golden ratio 1000 digits Архивная копия от 6 марта 2015 на Wayback Machine
  2. 1 2 Савин А. Число Фидия — золотое сечение (рус.) // "Квант" : Научно-популярный физико-математический журнал (издается с января 1970 года). — 1997. — № 6. Архивировано 4 марта 2016 года.
  3. Радзюкевич А. В. Красивая сказка о «золотом сечении». Дата обращения: 22 марта 2012. Архивировано 29 декабря 2011 года.
  4. Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number
  5. Devlin’s Angle, The Myth That Will Not Go Away
  6. Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. — First trade paperback. — New York City : Broadway Books, 2003. — ISBN 978-0-7679-0816-0. Источник. Дата обращения: 10 декабря 2015. Архивировано 13 марта 2023 года.
  7. Лаврус В., Золотое сечение. Дата обращения: 18 июля 2004. Архивировано 20 июня 2004 года.
  8. François Lasserre. The birth of mathematics in the age of Plato. — American Research Council, 1964-01-01. — 200 с. — P. 76. Архивировано 18 июня 2016 года.
  9. Boyer, Carl B. A History of Mathematics (неопр.). — Second Edition. — John Wiley & Sons, Inc., 1991. — С. 50. — ISBN 0-471-54397-7.
  10. Martin Ohm. Die reine Elementar-Mathematik. — 2-е изд. — Jonas Verlags-buchhandlung, 1835. — С. 194. — 454 с. Архивировано 23 июля 2016 года.
  11. Herz-Fischler, 2013, p. 168.
  12. Livio, 2008, p. 6—7.
  13. Василенко С. Л. Знак-символ золотого сечения // Академия Тринитаризма. — М., 05.02.2011. — № Эл № 77—6567, публ. 16335. Архивировано 26 ноября 2015 года.
  14. Martin Ohm. Die reine Elementar-Mathematik. — 1-е изд.. — Berlin, 1826. — 492 с. — P. 188. Архивировано 30 мая 2016 года.
  15. Herz-Fischler, 2013, p. 169.
  16. Livio, 2008, p. 7.
  17. Herz-Fischler, 2013, p. 169—170.
  18. Тони Крилли. Математика: 50 идей, о которых нужно знать = 50 Mathematical Ideas you really need to know. — Phantom Press. — 209 с. — ISBN 9785864716700. Архивировано 18 июня 2016 года.
  19. Системы счисления. Дата обращения: 13 ноября 2014. Архивировано 28 ноября 2014 года.
  20. Ковалев А. Н. В поисках пятого порядка. — 2017. — 374 с. — ISBN 978-5-4485-3753-0.
  21. Современная Кристаллография / под ред. Б. К. Вайнштейна. — Т. 2. — М.: Мир, 1979.
  22. Holland P. M. Casteiman A. W. A model for the formation and stabilization of chorqed water cluthrates // J. Chem. Phys.. — 1980. — Т. 72, № 1(11). — С. 5984.
  23. Электромагнитные поля в биосфере. — Сборник трудов конференции, Т. 2. — М., 1984. — С. 22.
  24. Зенин С. В. Структурированное состояние воды как основа управления поведением и безопасностью живых систем. — Диссертация докт. биол. наук. — М., 1999.
  25. Andrey Radzyukevich. Миф о "золотом сечении" // Миф о "золотом сечении" : Монография. — 2023. — ISSN 978-5-0060-9409-3.
  26. Золотой запас зодчества Архивная копия от 29 января 2009 на Wayback Machine
  27. Бах И. С. 15 двухголосных инвенций и 15 трехголосных симфоний. — М.: Музгиз, 1961. — С. 46. — 70 с.
  28. Цветков В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. — Пущино: ПНЦ РАН, 1997. — 170 с. Дата обращения: 19 февраля 2015. Архивировано 27 сентября 2015 года.

Литература[править | править код]

на русском языке
  • Аракелян Г. Б. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
  • Бендукидзе А. Д. Золотое сечение Архивная копия от 11 октября 2004 на Wayback Machine «Квант» № 8, 1973.
  • Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
  • Власов В. Г. Золотое сечение, или Божественная пропорция // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С. 725—732.
  • Власов В. Г. Приемы гармонизации пространства в классической архитектуре // Власов В. Г. Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С. 156—192.
  • Мазель Л. А. Опыт исследования золотого сечения в музыкальных построениях в свете общего анализа форм // Музыкальное образование. — 1930. — № 2. — С. 24—33.
  • Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2—3. — С. 32—56.
  • Шевелев И. Ш., Марутаев М. А., Шмелев И. Л. Золотое сечение. Три взгляда на природу гармонии. — М.: Стройиздат, 1990. — 343 с. — ISBN 5-274-00197-1.
  • Шевелев И. Ш. Геометрическая гармония. Опыт исследования пропорциональности в архитектуре. — Кострома, 1963. — 107 с.
  • Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С. 2—7.
на других языках
Марио Ливио. φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания. — Litres, 2015-04-17. — 481 с. — ISBN 9785457762732. Архивная копия от 24 июня 2016 на Wayback Machine

Ссылки[править | править код]