Теорема Хана — Банаха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа: теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты, теорему о разделении выпуклых множеств и теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала и т. п.

Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты[править | править вики-текст]

Пусть  — линейное, или векторное, пространство над полем действительных чисел и  — положительно однородный субаддитивный функционал. Для любого линейного подпространства линейного пространства каждый линейный функционал , удовлетворяющий условию

,

может быть продолжен на все пространство с сохранением этого неравенства.


Легко показать, что одной лишь положительной однородности (такая ошибочная формулировка приведена в Математической энциклопедии) или супераддитивности функционала для справедливости этой теоремы недостаточно.

Контрпример для положительно однородного функционала: , , .

Широко известны различные варианты теоремы о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты для линейных пространств над полем комплексных чисел, когда  — полунорма.

Теорема о непрерывном продолжении линейного функционала[править | править вики-текст]

Всякий линейный ограниченный функционал , определённый на линейном многообразии линейного нормированного пространства , можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.


Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:

Для любых двух различных точек линейного нормированного пространства или локально выпуклого пространства существует линейный непрерывный функционал, определённый на всем пространстве, для которого его значения в этих точках различны.


Доказательство[править | править вики-текст]

Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть . Рассмотрим линейное пространство вида:

Продолжение на запишем:

где  — вещественное число, которое необходимо определить. Для произвольных и выполняется:

Отсюда

Как следствие

Определим так

Выполняется равенство

.

Определим

Для всех и произвольных выполняется неравенство:

поэтому

Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.
  • Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с.
  • Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
  • Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

Примечания[править | править вики-текст]