Уравнение последовательности с конечной производной
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Уравнение последовательности с конечной производной — уравнение в математике, позволяющее записать любую последовательность, производная которой конечна. Производная последовательности и производная функции, задающей последовательность — разные понятия. Такой последовательностью будет считаться любая последовательность, записанная в виде многочлена. Уравнение последовательности записывается в виде функции с натуральным аргументом, значение которого — порядковый номер элемента последовательности. Уравнение имеет вид функции:
,
где — минимальная длина производной последовательности, — k-й элемент производной последовательности ().
Производная последовательности
[править | править код]Понятие производной последовательности
[править | править код]Пусть существует последовательность чисел, заданная уравнением при :
и т.д.
Запишем под ней строку разности, т. е. ряд, каждый элемент которой равен минус разности двух элементов сверху:
Так выглядит схема последовательности. Строки разности подсчитываются следующим образом: берётся первая пара чисел из верхнего ряда и вычитается второе число из первого (). Число записывается снизу под промежутком между двумя выбранными числами. Такая операция проводится и над числами и и так до конца ряда. Затем такая операция проводится и для получившегося ряда и так до конца. Ряд чисел, образованный первыми числами в каждом ряду с первого (в данном случае — ) называется производной последовательности, так как она описывает скорость роста чисел в ней. Записывается производная последовательности через запятую в скобках. Элемент производной последовательности записывается , где — порядковый номер элемента производной последовательности (). Производная считается конечной, если нашлась такая строка разности, которая заполнена нулями.
Минимальная длина производной последовательности
[править | править код]Если существует некоторая производная, то из неё можно восстановить последовательность обратными действиями. В случае с производной , последующие элементы которой заполнены нулями, из неё можно восстановить последовательность, заданной функцией . Однако последовательность можно уменьшить до , притом она не перестанет описывать функцию . Если же уменьшить её ещё сильнее, например, , то такая производная будет описывать последовательность, заданной другой функцией — , а значит минимальная длина производной последовательности в данном случае — 3. Для получения производной последовательности минимальной длины необходимо убрать все нули в конце производной, так как они не влияют на последовательность. Длина получившейся производной и будет считаться минимальной.
Связь производной и элементов последовательности
[править | править код]Связывается уравнение последовательности с его производной количеством сочетаний из по , где – номер элемента последовательности ():
.
Это выражение можно записать и в общей форме:
.
С учётом того, что
,
запишем общее уравнение:
.
В данном случае формула суммы проходится по всей длине производной. Если она будет больше минимальной длины , то в случаях, когда дробь обнуляется, т. к. производная в таких случаях равна нулю. В таком случае имеет смысл ограничить количество итераций суммы до . Также в формуле можно вынести за знак суммы :
.
Общие производные последовательности, заданных многочленами
[править | править код]Общая формула
[править | править код]Для последовательности, заданной многочленом при , существует производная, -й элемент которой обозначается . Для верна следующая формула:
.
Из этой формулы выводятся производные многочленов разных степеней.
Многочлены первой степени
[править | править код]Для последовательности, заданной многочленом первой степени () производная последовательности имеет следующий вид:
.
Поставляя значения в , получим:
.
Многочлены второй степени
[править | править код]Для последовательности, заданной многочленом второй степени производная последовательности имеет следующий вид:
.
Поставляя значения в , получим:
.
Многочлены третьей степени
[править | править код]Для последовательности, заданной многочленом третьей степени производная последовательности имеет следующий вид:
.
Поставляя значения в , получим:
.
Получение уравнения последовательности из производной
[править | править код]Для существующей производной в соответствии с уравнением запишем сумму дробей:
.
Раскроем факториалы, а затем скобки:
Если существует дробь вида при , то её можно раскрыть с помощью формулы:
.
При значение дроби равно единице.
Примером раскрытия может служить выражение:
.
А также:
.
.
Свойства уравнения последовательности
[править | править код]- Степень многочлена, которым записывается уравнение последовательности, зависит от значения , т. к. с ним растёт и число слагаемых, а значит и общее число множителей в слагаемых. Степень многочлена определима по формуле , где — степень многочлена. При уравнение принимает постоянное значение, равное первому и единственному элементу производной. Таким образом, можно представить любой многочлен в виде значения уравнения, а значит у каждого многочлена есть производная.
- Первым элементом любой производной любого многочлена является сумма всех его коэффициентов, включая свободный член.
- Значение -го элемента производной последовательности, заданной многочленом -й степени, вычисляется минус разностью её -го элемента и -го элемента производной новой последовательности, образованной сдвигом старой на один элемент влево.
Сумма первых натуральных членов некоторой последовательности
[править | править код]Для последовательности, заданной многочленом , где — порядковый номер элемента последовательности (), можно найти формулу, значение которой равно сумме первых членов этой последовательности. Пусть , тогда разложим сумму на каждый одночлен многочлена . Пусть , тогда получим:
Последовательность, заданная этой функцией называется последовательностью суммы. Таким образом, вся задача сводится к поиску элементарных сумм вида для , где — минимальная длина производной последовательности.
Получение производной последовательности суммы
[править | править код]Последовательность, заданная функцией , имеет производную, связанную с производной последовательности, заданной функцией . Для того чтобы её получить, необходимо просуммировать элементы производной со сдвигом:
1 9 6 + 1 9 6 ———————————— 1 10 15 6
Производная, полученная таким образом называется симметричной, а явление — симметричностью производной. Так, для получения формулы суммы первых членов последовательности, заданной функцией , необходимо восстановить новую формулу из производной , в результате чего получится . Формула подтверждается теоремой о лямбда-функции, утверждающей, что у формулы суммы отсутствует свободный член ().
Основные виды сумм
[править | править код]Сумма первых элементов ряда натуральных чисел
[править | править код]Т. к. ряд натуральных чисел имеет производную , производная последовательности суммы этого ряда равна . Можно вывести формулу суммы первых натуральных чисел:
.
В результате преобразований функция примет вид:
.
Сумма первых элементов ряда натуральных квадратов
[править | править код]Т. к. ряд натуральных квадратов имеет производную , производная последовательности суммы этого ряда равна . Можно вывести формулу суммы первых натуральных квадратов:
.
В результате преобразований функция примет вид:
.
Значение
[править | править код]Кроме возможности находить функцию, которой был задан ряд чисел, уравнение последовательности с конечной производной позволит предугадывать следующее число в последовательности. На основе схемы последовательности можно построить искусственный интеллект.
Алгоритм заключается в том, что для нахождения следующего числа необходимо сложить последние элементы во всех строках разности и последний элемент самой последовательности. Получившееся число будет соответствовать уравнению в том случае, если верно определена минимальная длина производной. Лучше всего алгоритм использовать для бесконечных производных с произвольным изменением чисел.