Сумма (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество), результат суммирования величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Понятие суммы применяется к более сложным алгебраическим структурам. Сумма групп. Сумма линейных пространств. Сумма идеалов. И другие примеры. В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Арифметическая сумма[править | править вики-текст]

Пусть в первой группе находится A предметов некоторого рода, во второй, соответственно, B предметов (A и B — натуральные числа). Тогда арифметической суммой A+B будет количество предметов в группе, полученной при объединении двух исходных.

Рациональные числа[править | править вики-текст]

Пусть даны рациональные числа A и B такие, что (дроби несокращаемые). Тогда .

Запись символом «сигма»[править | править вики-текст]

Сумму математически обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма).

где i — индекс суммирования; ai — переменная, обозначающая каждый член в серии; m — нижняя граница суммирования, n — верхняя граница суммирования. Обозначение «i = m» под символом суммирования означает, что начальное (стартовое) значение индекса i эквивалентно m. Из этой записи следует, что индекс i инкрементируется на 1 в каждом члене выражения, и остановится когда i = n.[1]

В программировании данной операции соответствует цикл for.

Примеры записи
= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

Указание границ может опускаться из записи, если они ясны из контекста.

Итератор может быть выражением, тогда переменная оформляется со скобками как функция «». Например, сумма всех натуральных чисел в определённом диапазоне:

Сумма элементов множества :

Сумма всех положительных чисел делящихся на .

Несколько символов сигма могут обобщать, например:

=

Бесконечная сумма[править | править вики-текст]

В математическом анализе определяется понятие ряда — суммы бесконечного числа слагаемых.

Примеры[править | править вики-текст]

1. Сумма арифметической прогрессии:




2. Сумма геометрической прогрессии:




3.




4.




5.




6.

Стоит заметить, что при получаем , а это последовательность равенств следующего вида:

Неопределённая сумма[править | править вики-текст]

Неопределённой суммой по называется такая функция , обозначаемая , что .

Формула Ньютона-Лейбница[править | править вики-текст]

Если найдена неопределённая сумма , то .

Этимология[править | править вики-текст]

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

Кодировка[править | править вики-текст]

В Юникоде есть символ суммы U+2211 n-ary summation (HTML ∑ · ∑).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Chapter 2: Sums // Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition). — Addison-Wesley Professional, 1994. — ISBN 978-0201558029.

Литература[править | править вики-текст]

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.