Сумма (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество), результат суммирования величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

a + b = b + a
a + (b + c) = (a + b) + c
(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c
c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Понятие суммы применяется к более сложным алгебраическим структурам. Сумма групп. Сумма линейных пространств. Сумма идеалов. И другие примеры. В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Арифметическая сумма[править | править вики-текст]

Пусть в первой группе находится A предметов некоторого рода, во второй, соответственно, B предметов (A и B — натуральные числа). Тогда арифметической суммой A+B будет количество предметов в группе, полученной при объединении двух исходных.

Рациональные числа[править | править вики-текст]

Пусть даны рациональные числа A и B такие, что A=\frac{m_a}{n_a}, B=\frac{m_b}{n_b} (дроби несокращаемые). Тогда A+B=\frac{m_a \cdot n_b + m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}.

Запись символом «сигма»[править | править вики-текст]

Сумму математически обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма).

\sum_{i \mathop =m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} +\cdots+ a_{n-1} + a_n

где i — индекс суммирования; ai — переменная, обозначающая каждый член в серии; m — нижняя граница суммирования, n — верхняя граница суммирования. Обозначение «i = m» под символом суммирования означает, что начальное (стартовое) значение индекса i эквивалентно m. Из этой записи следует, что индекс i инкрементируется на 1 в каждом члене выражения, и остановится когда i = n.[1]

В программировании данной операции соответствует цикл for.

Примеры записи
\sum_{i \mathop =1}^{100}i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100
\sum_{i \mathop =3}^6 i^2 = 3^2+4^2+5^2+6^2 = 86.

Указание границ может опускаться из записи, если они ясны из контекста.

\sum a_i^2 = \sum_{ i \mathop =1}^n a_i^2.

Итератор может быть выражением, тогда переменная оформляется со скобками как функция «f()». Например, сумма всех натуральных чисел k в определённом диапазоне:

\sum_{0\le k< 100} f(k)

Сумма f(x) элементов x множества S:

\sum_{x \mathop \in S} f(x)

Сумма \mu(d) всех положительных чисел d делящихся на n.

\sum_{d|n}\;\mu(d)

Несколько символов сигма могут обобщать, например:

\sum_{\ell,\ell'} = \sum_\ell\sum_{\ell'}

Бесконечная сумма[править | править вики-текст]

В математическом анализе определяется понятие ряда — суммы бесконечного числа слагаемых.

Примеры[править | править вики-текст]

1. Сумма арифметической прогрессии:

\sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}




2. Сумма геометрической прогрессии:

\sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}




3. \sum \limits_{k=1}^n k^3=\left [\frac{n(n+1)}{2} \right ]^2=\left (\sum \limits_{k=1}^n  k \right )^2




4. \sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0




5. \sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1




6. \sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1

Стоит заметить, что при p = 10\ получаем \sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1, а это последовательность равенств следующего вида:
1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5

Неопределённая сумма[править | править вики-текст]

Неопределённой суммой a_i по i называется такая функция f(i), обозначаемая \sum_{i}^{} a_i, что  \forall i: f(i+1) - f(i) = a_{i}.

Формула Ньютона-Лейбница[править | править вики-текст]

Если найдена неопределённая сумма \sum_{i}^{} a_i = f(i), то \sum_{i=a}^b a_i = f(b+1)-f(a).

Этимология[править | править вики-текст]

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

Кодировка[править | править вики-текст]

В Юникоде есть символ суммы U+2211 n-ary summation (HTML &#8721; · &sum;).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Chapter 2: Sums // Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition). — Addison-Wesley Professional, 1994. — ISBN 978-0201558029.

Литература[править | править вики-текст]

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.