Сумма (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество) в математике это результат операции сложение числовых величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.), либо результат последовательного выполнения нескольких операций сложения (суммирования). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Операция сложение (нахождение суммы) может быть определено для более сложных алгебраических структур. Сумма групп, сумма линейных пространств, сумма идеалов, и другие примеры. В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Арифметическая сумма[править | править вики-текст]

Пусть в первом множестве находится предметов некоторого рода, во втором множестве , соответственно, предметов того-же рода (a и b — натуральные числа). Тогда арифметической суммой будет количество предметов в множестве , полученной при дизъюнктном объединении двух исходных множеств.

Алгебраическая сумма[править | править вики-текст]

Сумму математически обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма).

где: i — индекс суммирования; ai — переменная, обозначающая каждый член в серии; m — нижняя граница суммирования, n — верхняя граница суммирования. Обозначение «i = m» под символом суммирования означает, что начальное (стартовое) значение индекса i эквивалентно m. Из этой записи следует, что индекс i инкрементируется на 1 в каждом члене выражения, и остановится когда i = n.[1]

В программировании данной процедуре соответствует цикл for.

Примеры записи

Указание границ может опускаться из записи, если они ясны из контекста:

Итератор может быть выражением, тогда переменная оформляется со скобками как функция «». Например, сумма всех натуральных чисел в определённом диапазоне:

Сумма элементов множества :

Сумма всех положительных чисел делящихся на :

Несколько символов сигма могут обобщать, например:

Бесконечная сумма[править | править вики-текст]

В математическом анализе определяется понятие ряда — суммы бесконечного числа слагаемых.

Примеры

1. Сумма арифметической прогрессии:




2. Сумма геометрической прогрессии:




3.




4.




5.




6.

Стоит заметить, что при получаем , а это последовательность равенств следующего вида:

Неопределённая сумма[править | править вики-текст]

Неопределённой суммой по называется такая функция , обозначаемая , что .

Формула Ньютона-Лейбница[править | править вики-текст]

Если найдена неопределённая сумма , то .

Этимология[править | править вики-текст]

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

Кодировка[править | править вики-текст]

В Юникоде есть символ суммы U+2211 n-ary summation (HTML ∑ · ∑).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Chapter 2: Sums // Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition). — Addison-Wesley Professional, 1994. — ISBN 978-0201558029.

Литература[править | править вики-текст]

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.