Фуксова модель

Фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как факторповерхности верхней полуплоскости H по фуксовой группе. Любая гиперболическая риманова поверхность позволяет такое представление. Концепция названа именем Лазаря Фукса.

Более точное определение

По теореме об униформизации любая риманова поверхность является эллиптической, параболической, либо гиперболической. Точнее, эта теорема утверждает, что риманова поверхность $R$, которая не изоморфна либо римановой сфере (в эллиптическом случае), либо факторповерхности комплексной поверхности по дискретной подгруппе (в параболическом случае), должна быть факторповерхностью гиперболической плоскости $\mathbb {H}$ по подгруппе $\Gamma$, действующей вполне разрывно и свободно.

В модели Пуанкаре в верхней полуплоскости для гиперболической плоскости группа биголоморфных преобразований является группой $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$, действующей гомографией, а теорема об униформизации означает, что существует дискретная подгруппа без кручения $\Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$, такая, что риманова поверхность $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ изоморфна $R$. Такая группа называется фуксовой группой, а изоморфизм $R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H}$ называется фуксовой моделью для $R$.

Фуксовы модели и пространство Тейхмюллера

Пусть $R$ будет замкнутой гиперболической поверхностью и пусть $\Gamma$ будет фуксовой группой, такой, что $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ является фуксовой моделью для $R$. Пусть

$A(\Gamma )=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\}$.

Здесь $A(\Gamma )$ — множество всех $\rho$ эффективных и дискретных представлений с топологией, порождённой точечной сходимостью (иногда называемой «алгебраической сходимостью»). В этом частном случае топология может быть наиболее просто определена следующим образом: группа $\Gamma$ является конечнопорождённой, так как она изоморфна фундаментальной группе $R$. Пусть $g_{1},\ldots ,g_{r}$ будет порождающим множеством, тогда любое $\rho \in A(\Gamma )$ определяется элементами $\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})$ и мы можем отождествить $A(G)$ с подмножеством $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r}$ отображением $\rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))$. Тем самым мы задаём топологию подпространства.

Теорема Нильсена об изоморфизме (это не стандартная терминология и этот результат не связан напрямую с теоремой Дена — Нильсена) тогда утверждает следующее:

Для любого представления $\rho \in A(G)$ существует автогомеоморфизм (фактически, квазиконформное отображение) $h$ верхней полуплоскости $\mathbb {H}$, такое, что $h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )$ для любого $\gamma \in G$.

Доказательство очень просто — выберем гомеоморфизм $R\to \rho (\Gamma )\backslash \mathbb {H}$ и поднимем его на гиперболическую плоскость. Взятие диффеоморфизма даёт квазиконформное отображение, поскольку $R$ компактно.

Это можно рассматривать как эквивалентность между двумя моделями для пространства Тейхмюллера $R$ — множества дискретных эффективных представлений фундаментальной группы $\pi _{1}(R)$ в классы смежности $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ и множества помеченных римановых поверхностей $(X,f)$, где $f\colon R\to X$ является квазиконформным гомеоморфизмом естественного отношения эквивлентности.

См. также

• Модель Кляйна, аналогичное построение для 3D-многообразий
• Фундаментальный многоугольник