Функция Гудермана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Функция Гудермана с асимптотами , показанными синим цветом

Фу́нкция Гудерма́на (гудерманиа́н, или гиперболи́ческая амплиту́да[1]) — функция, показывающая связь тригонометрических и гиперболических функций без привлечения комплексных чисел. Названа в честь немецкого математика Кристофа Гудермана. Обозначается или Возникает в задаче отображения плоскости на сферу в картографической проекции Меркатора.

Определение и свойства[править | править код]

Гудерманиан определяется следующим образом:

Основные соотношения, иногда используемые как альтернативные определения:

Имеют место также следующие тождества, связывающие через гудерманиан тригонометрические и гиперболические функции:

Гудерманиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на всей числовой прямой. Его область значений лежит на отрезке (−π/2, π/2). Значения ±π/2 являются асимптотами функции при стремлении её аргумента к

Используя определение функции Гудермана, можно расширить её область определения на комплексную плоскость. Для комплексного аргумента z = x + iy выполняются тождества:

а также

Связь гудерманиана и экспоненциальной функции задаётся тождествами:

Обратная функция[править | править код]

Функция Ламберта (ламбертиан, антигудерманиан), обратная к функции Гудермана

Обратная функция к функции Гудермана:

Она называется антигудерманианом, а также ламбертианом или функцией Ламберта (в честь Иоганна Ламберта), и обозначается также как или Её, как и функцию Гудермана, используют в теории построения картографических проекций; она позволяет перейти от географической широты точки на сфере к вертикальной координате образа точки в проекции Меркатора (см. также Интеграл от секанса). Основные тождества для функции Ламберта:

Имеют место также следующие тождества, связывающие через ламбертиан тригонометрические и гиперболические функции:

Ламбертиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на интервале (−π/2, π/2). Её область значений лежит в интервале Как и функция Гудермана, она может быть обобщена для комплексного аргумента.

Функция Гудермана и функция Ламберта связаны следующим соотношением:

откуда вытекают также соотношения

Производные, ряды и интегралы[править | править код]

Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана равны соответственно гиперболическому и тригонометрическому секансу:

Разложение в ряд:

Коэффициенты разложения гудерманиана и антигудерманиана при членах одинаковой степени совпадают по модулю, однако у членов со степенью 3, 7, 11,... коэффициенты разложения гудерманиана отрицательны, а у обратной функции — положительны.

Интеграл функции Гудермана:

где Li2дилогарифм.

Гудерманиан и антигудерманиан, позволяющие легко переходить от гиперболических к тригонометрическим функциям и обратно, используются для аналитического интегрирования методом тригонометрической и гиперболической подстановки.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Название «гиперболическая амплитуда» предложено Гуэлем в 1864 году.