Функция Гудермана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функция Гудермана с асимптотами y=\pm\pi/2, показанными синим цветом

Функция Гудермана (гудерманиан, или гиперболическая амплитуда) — функция, показывающая связь тригонометрических и гиперболических функций без привлечения комплексных чисел. Названа в честь немецкого математика Кристофа Гудермана.

Определяется следующим образом:

\operatorname{gd}(x) =\int\limits_0^x\frac{dt}{\operatorname{ch}\,t}.

Основные соотношения, иногда используемые как альтернативные определения:

\operatorname{gd}(x) \, = 2\,\operatorname{arctg}\left(\operatorname{th}\frac{x}{2}\right) \, = \, 2\,\operatorname{arctg}\,e^x-{\pi\over2} \, = \, \operatorname{arctg}(\operatorname{sh}(x)).


Имеют место также следующие тождества:

\operatorname{th}\frac{x}{2}=\operatorname{tg}\frac{\operatorname{gd}(x)}{2}
\operatorname{sh}(x)=\operatorname{tg}(\operatorname{gd}(x))
\operatorname{ch}(x)=\sec(\operatorname{gd}(x))
\operatorname{th}(x)=\sin(\operatorname{gd}(x))\
\operatorname{sech}(x)=\cos(\operatorname{gd}(x))\
\operatorname{csch}(x)=\operatorname{ctg}(\operatorname{gd}(x))\
\operatorname{cth}(x)=\operatorname{cosec}(\operatorname{gd}(x))\

Обратная функция к функции Гудермана:

\operatorname{arcgd}(x) \, = \, {\operatorname{gd}}^{-1}(x) \, = \, \int\limits_0^x \frac{dt}{\cos t},

основные тождества для неё:

\operatorname{arcgd}(x) \, = \, \operatorname{arch}(\sec x)=\operatorname{arth}(\sin x)\, = \,\ln\bigl(\sec(x)(1+\sin(x))\bigr)\, = \,\ln(\operatorname{tg}x+\sec x)=\ln\biggl(\!\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\!\!\biggr)\, = \,\frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \biggr).

Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана:

{d \over dx}\,\operatorname{gd}(x)=\operatorname{sch}(x),
{d \over dx}\,\operatorname{arcgd}(x)=\sec(x).

Разложение в ряд:

\operatorname{gd}(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}-\frac{61x^7}{5040}+\dots

Литература[править | править вики-текст]

  • Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1963. 1100 с.

Ссылки[править | править вики-текст]