Целозначный многочлен

Целозначный многочлен — многочлен, принимающий целые значения для целого аргумента.

Целозначный многочлен не обязательно имеет целые коэффициенты: например, $p(n)={\frac {n(n+1)}{2}}$ целозначен, поскольку одно из чисел $n$ и $n+1$ чётно.

Порождающие целозначные многочлены

Целозначные многочлены одной переменной степени не выше $d$ образуют свободную абелеву группу $I_{d}=\mathbb {Z} ^{d+1}$ на $d+1$ образующих. Например, $\gamma _{k}={\tbinom {n+k}{k}}$ для $k=0,...,d$ (то есть $\gamma _{0}=1$, $\gamma _{1}=n+1$, $\gamma _{2}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$ и т. д.) или $S_{k}={\tbinom {n+k}{d}}$ для $k=0,...,d$, где ${\tbinom {n+k}{k}}$ — биномиальные многочлены.

Связь с алгебраической геометрией

Пусть $K_{0}(\mathbb {P} ^{d})$ — группа Гротендика проективного пространства размерности $d$, то есть абелева группа, порождённая классами $[E]$ векторных расслоений $E$ и соотношениями $[E\oplus F]=[E]+[F]$; в частности, изоморфная $\mathbb {Z} ^{d+1}$. Построим отображение $f:K_{0}(\mathbb {P} ^{d})\to I_{d}$, отправляющее расслоение $V$ в его многочлен Гильберта $\chi (V(n))$, где $\chi$ — эйлерова характеристика векторного расслоения как когерентного пучка. Тогда $f({\mathcal {O}}|_{\mathbb {P} ^{k}})=\gamma _{k}$ и $f({\mathcal {O}}(k))=S_{k}$, то есть стандартные целочисленные многочлены имеют ясный геометрический смысл.

Ссылки

• Pólya, G. (1915), "Über ganzwertige ganze Funktionen", Palermo Rend. (нем.), 40: 1—16, ISSN 0009-725X, JFM 45.0655.02