Шары Данделена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Шары Данделена. Секущая плоскость касается шаров и не параллельна образующей конуса (коническое сечение — эллипс с фокусами в местах касания)
Положение и форма шаров Данделена при некоторых углах наклона секущей плоскости к оси конуса.

Шары Данделена — сферы, участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса, гиперболы и параболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса. Предложены Данделеном в 1822 году.

Описание[править | править исходный текст]

Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса. Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям C и C' и касающиеся секущей плоскости в точках F и F'. Такие сферы называют шарами Данделена. В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.

Если сфер две, то в случае эллипса обе расположены в том же конусе, одна — над секущей плоскостью, вторая — под ней; в случае гиперболы одна сфера расположена в данном конусе, вторая — в конусе, симметричном данному относительно вершины, обе — над секущей плоскостью (или по ту же сторону от секущей плоскости, что и ось конуса, если секущая плоскость параллельна оси конуса, но не содержит её). Для параболы единственная сфера расположена в том же конусе над секущей плоскостью.

Из соображений симметрии ясно, что центры шаров лежат на оси конуса. Построим шары Данделена в случае эллипса, в случаях параболы и гиперболы построение во многом сходно. Опустим перпендикуляр из вершины конуса на секущую плоскость и проведем прямую через его основание и точку пересечения оси конуса и секущей плоскости. Через верхнюю точку пересечения этой прямой и поверхности конуса проведем биссектрису угла между этой прямой и образующей конуса, проходящей через эту точку. Через эту же точку проведём вторую биссектрису — угла, смежного указанному. Эти две биссектрисы пересекут ось конуса в центрах двух шаров Данделена. Осталось провести две сферы с центрами в этих двух точках и радиусом, равным расстоянию от центра до образующей.

Применение к построению сечений[править | править исходный текст]

Если взять произвольную точку P на линии пересечения конуса и плоскости \pi и провести через неё образующую конуса, которая пересекается с окружностями C и C' в точках Q и Q', то при перемещении точки P, точки Q и Q' будут перемещаться по окружностям C и C' с сохранением расстояния |QQ '|.

Так как PQ и PF — отрезки двух касательных к сфере из одной точки P, то |PQ|=|PF| и, аналогично, |PQ'|=|PF'|.

Таким образом точки на линии пересечения

  • имеют постоянную сумму |PF| |PF '|=|PQ| |PQ '|=|QQ '| и значит, что множество возможных точек P — это есть эллипс, а точки F и F ' — его фокусы.
  • или имеют постоянную разницу |PF|-|PF '|=|PQ|-|PQ '|=|QQ '| и значит, что множество возможных точек P — это есть гипербола, а точки F и F ' — его фокусы.

Плоскость \pi пересекает плоскости, в которых лежат окружности C и C' по прямым, являющимся директрисами конического сечения[1]:46,47.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — 288 с.

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]