Шары Данделена

Шары Данделена. Секущая плоскость касается шаров и не параллельна образующей конуса (коническое сечение — эллипс с фокусами в местах касания)

Положение и форма шаров Данделена при некоторых углах наклона секущей плоскости к оси конуса.

Шары Данделена — сферы, участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса, гиперболы и параболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса. Предложены Данделеном в 1822 году.

Описание

Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса. Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям $C$ и $C'$ и касающиеся секущей плоскости в точках $F$ и $F'$. Такие сферы называют шарами Данделена. В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.

Если сфер две, то в случае эллипса обе расположены в том же конусе, одна — над секущей плоскостью, вторая — под ней; в случае гиперболы одна сфера расположена в данном конусе, вторая — в конусе, симметричном данному относительно вершины, обе — над секущей плоскостью (или по ту же сторону от секущей плоскости, что и ось конуса, если секущая плоскость параллельна оси конуса, но не содержит её). Для параболы единственная сфера расположена в том же конусе над секущей плоскостью.

Из соображений симметрии ясно, что центры шаров лежат на оси конуса. Построим шары Данделена в случае эллипса, в случаях параболы и гиперболы построение во многом сходно. Опустим перпендикуляр из вершины конуса на секущую плоскость и проведем прямую через его основание и точку пересечения оси конуса и секущей плоскости. Через верхнюю точку пересечения этой прямой и поверхности конуса проведем биссектрису угла между этой прямой и образующей конуса, проходящей через эту точку. Через эту же точку проведём вторую биссектрису — угла, смежного указанному. Эти две биссектрисы пересекут ось конуса в центрах двух шаров Данделена. Осталось провести две сферы с центрами в этих двух точках и радиусом, равным расстоянию от центра до образующей.

Применение к построению сечений

Если взять произвольную точку $P$ на линии пересечения конуса и плоскости $e$ и провести через неё образующую конуса, которая пересекается с окружностями $C$ и $C'$ в точках $Q$ и $Q'$, то при перемещении точки $P$, точки $Q$ и $Q'$ будут перемещаться по окружностям $C$ и $C'$ с сохранением расстояния $QQ'$.

Так как $PQ$ и $PF$ — отрезки двух касательных к сфере из одной точки $P$, то $PQ=PF$ и, аналогично, $PQ'=PF'$.

Таким образом точки на линии пересечения

• имеют постоянную сумму $PF+PF'=PQ+PQ'=QQ'$ и значит, что множество возможных точек $P$ — это есть эллипс, а точки $F$ и $F'$ — его фокусы.
• или имеют постоянную разницу $PF-PF'=PQ-PQ'=QQ'$ и значит, что множество возможных точек $P$ — это есть гипербола, а точки $F$ и $F'$ — её фокусы.

Плоскость $e$ пересекает плоскости, в которых лежат окружности $C$ и $C'$ по прямым, являющимся директрисами конического сечения. Свойство директрисы таково, что для всех точек, лежащих на линии пересечения конуса и плоскости $e$ отношение расстояний от точки до директрисы и до соответствующего ей фокуса одинаково. Действительно, пусть $P$ лежит на линии пересечения, $c$ - плоскость окружности $C$. Пусть плоскости $c$ и $e$ пересекаются по прямой $l$, $PH$ - перпендикуляр из $P$ на $l$, $PK$ - перпендикуляр из $P$ на $c$. Нетрудно заметить, что ${\frac {PH}{PK}}=\sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между плоскостями $c$ и $e$. ${\frac {PK}{PF}}={\frac {PK}{PQ}}={\frac {1}{\cos \varphi }}$, где $\varphi$ — угол между осью конуса и его образующей. Перемножив два отношения, получим, что ${\frac {PH}{PF}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \varphi }}$, то есть величина, не зависящая от выбора точки $P$. Величина ${\frac {PF}{PH}}$ , обратная ей, называется эксцентриситетом коники. (Другому фокусу соответствует другая директриса, образуемая пересечением секущей плоскости и плоскости окружности $C'$.) В случае, когда секущая плоскость параллельна некоторой образующей, $\alpha =90^{\circ }-\varphi$, откуда ${\frac {PF}{PH}}={\frac {\cos \varphi }{\sin \alpha }}=1$, то есть $PF=PH$. Это соответствует стандартному определению параболы как геометрического места точек, равноудалённых от заданных точки (фокуса) и прямой (директрисы).

Литература

• Dandelin G. Mémoire sur l’hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, T. III., 1826 (pp. 3-16).
• Шаль М. О способе построения фокусов и доказательства их свойств на косом конусе // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М., 1883.
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Глава 1 // Наглядная геометрия. — 3-е русск. изд. — М.: Наука, 1981.
• Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

• Делоне Б. Н., Райков Д. А. том 2 // Аналитическая геометрия. — М., Л.: Гостехиздат, 1949. — 516 с.
• Веселов А.П., Троицкий Е.В. Лекции по аналитической геометрии. — СПб.: Лань, 2003. — 160 с.
• Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. — М.: МЦНМО. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
• Ф. Нилов. Сферы Данделена на YouTube Лекция на Малом мехмате МГУ, 2011 г.

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Шары Данделена