Эллиптическая модульная лямбда-функция

В математике эллиптическая модульная лямбда-функция является неэлементарной голоморфной функцией на верхней полуплоскости комплексных чисел. Эта функция является неизменной относительно конгруэнтной подгруппы Γ(2). Она описывается как главный модуль (по-немецки Hauptmodul) модулярной кривой X(2).

Определение

Функция определяется как четвертая степень частного тета-функций Карла Густава Якоба Якоби:

$\lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}={\frac {\vartheta _{2}^{4}[0;\exp(i\pi \tau )]}{\vartheta _{3}^{4}[0;\exp(i\pi \tau )]}}$

Важная дополнительная информация:

$\theta _{2}(0,\tau )=\vartheta _{2}[0;\exp(i\pi \tau )]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp {\bigl [}i\pi \tau {\bigl (}k+{\frac {1}{2}}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}$

$\theta _{3}(0,\tau )=\vartheta _{3}[0;\exp(i\pi \tau )]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp(i\pi \tau k^{2})$

Свойства

Конгруэнтная подгруппа Γ(2) эллиптической лямбда-функции имеет следующую структуру:

$\Gamma (2)={\biggl \{}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )|\,a\equiv d\equiv 1(\operatorname {mod} 2);\,b\equiv c\equiv 0(\operatorname {mod} 2){\biggr \}}={\biggl \langle }{\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\biggr \rangle }$

Фундаментальная область имеет следующий образец:

$\operatorname {F} _{\lambda }={\biggl \{}\tau :\tau \in \mathbb {H} \,\land \,{\biggl [}{\biggl [}\operatorname {Re} (\tau )\in (-1,1)\,\land \,\operatorname {min} {\biggl (}{\biggl |}\tau -{\frac {1}{2}}{\biggr |};{\biggl |}z+{\frac {1}{2}}{\biggr |}{\biggr )}>{\frac {1}{2}}{\biggr ]}\,\lor \,\operatorname {Re} (\tau )=-1\,\lor \,{\biggl |}\tau +{\frac {1}{2}}{\biggr |}={\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}$

Верхняя полуплоскость комплексных чисел имеет следующую классификацию:

$\mathbb {H} ={\biggl \{}\gamma \,\bigcirc \tau :\tau \in \operatorname {F} _{\lambda }\,\land \,\gamma \in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\,\land \,\gamma \equiv {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,\operatorname {mod} (2){\biggr \}}$

Модульные превращения

Действительны следующие функциональные уравнения:

$\lambda {\bigl (}-{\frac {1}{\tau }}{\bigr )}=1-\lambda (\tau )$

$\lambda {\bigl (}-{\frac {\tau }{1-\tau }}{\bigr )}={\frac {1}{\lambda (\tau )}}$

$\lambda {\bigl (}\tau +1{\bigr )}={\frac {\lambda (\tau )}{\lambda (\tau )-1}}$

Существует следующая инвариантность голоморфной лямбда-функции:

$\tau \longmapsto \tau +2;\tau \longmapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}$

Эллиптический модуль

Функция лямбда-звезда λ*(x) дает эллиптический модуль, так что частное от полного эллиптического интеграла первого рода пифагорова комплементарного элемента, деленного на полный эллиптический интеграл первого рода от самого модуля, равно квадратному корню из x.

$K[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}]/K[\lambda ^{*}(x)]={\sqrt {x}}$

Значения эллиптической модульной функции лямбда-звезда можно вычислить следующим образом:

$\lambda ^{*}(x)={\frac {\vartheta _{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{2}}{\vartheta _{3}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{2}}}$

$\lambda ^{*}(x)={\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp {\biggl [}-{\bigl (}a+{\frac {1}{2}}{\bigr )}^{2}\pi {\sqrt {x}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2}{\biggl [}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}}){\biggr ]}^{-2}$

$\lambda ^{*}(x)={\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\biggl [}{\bigl (}a+{\frac {1}{2}}{\bigr )}\pi {\sqrt {x}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl [}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}}){\biggr ]}^{-1}$

Частные значения

Эллиптические формулы

Лямбда-звезда положительных рациональных чисел всегда являются положительными алгебраическими числами.

$\lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}$

Следующее уравнение действительно для всех натуральных чисел n ∈ ℕ:

${\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\biggl \{}{\frac {2a}{n}}K{\biggl [}\lambda ^{*}{\bigl (}{\frac {1}{n}}{\bigr )}{\biggr ]};\lambda ^{*}{\bigl (}{\frac {1}{n}}{\bigr )}{\biggr \}}$

Эллиптические функции Якоби выражаются сокращениями sn, cn и dn.

$\lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}$

Число x должно быть положительным числом, а n должно быть натуральным числом.

Алгебраические отношения

Эти симметричные алгебраические отношения существуют:

$\lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1$

$\lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan\{\arcsin[\lambda ^{*}(x)]/2\}^{2}$

$\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(4/x)]\}=1$

$\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(4/x)+\lambda ^{*}(x)+\lambda ^{*}(4/x)=1$

$\lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2\lambda ^{*}(x)^{1/4}\lambda ^{*}(9x)^{1/4}-2\lambda ^{*}(x)^{3/4}\lambda ^{*}(9x)^{3/4}$

$\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}-\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}=$

$=2{\sqrt {2}}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/4}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}^{1/4}+2{\sqrt {2}}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{3/4}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}^{3/4}$

$\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/2}-\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{1/2}=$

$=2\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/12}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{1/12}+2\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{5/12}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{5/12}$

Точные значения

Важные константы, используемые в следующих:

имя константы	алгебраическое выражение	уравнение
Золотое сечение	$\Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)$	$\Phi ^{2}-\Phi -1=0$
Серебряное сечение	$\delta _{S}={\sqrt {2}}+1$	$\delta _{S}^{2}-2\delta _{S}-1=0$
Бронзовое сечение	$\delta _{B}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {13}}+3)$	$\delta _{B}^{2}-3\delta _{B}-1=0$
Постоянная трибоначчи	$T_{TRI}={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\tfrac {1}{3}}$	$T_{TRI}^{3}-T_{TRI}^{2}-T_{TRI}-1=0$
Пластическое число	$\rho ={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{12}}({\sqrt[{3}]{9+{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{9-{\sqrt {69}}}})$	$\rho ^{3}-\rho -1=0$
Сверхзолотое сечение	$\psi ={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{116+12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{116-12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{3}}$	$\psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0$

Первые десять значений:

$\lambda ^{*}(1)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$

$\lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1=\delta _{S}^{-1}$

$\lambda ^{*}(3)={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)$

$\lambda ^{*}(4)=({\sqrt {2}}-1)^{2}=\delta _{S}^{-2}$

$\lambda ^{*}(5)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}(\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1})$

$\lambda ^{*}(6)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})$

$\lambda ^{*}(7)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt {2}}(3-{\sqrt {7}})$

$\lambda ^{*}(8)=({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}})^{2}=(\delta _{S}-{\sqrt {2\delta _{S}}})^{2}$

$\lambda ^{*}(9)={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})$

$\lambda ^{*}(10)=({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}$

Дальнейшие значения нечетных чисел:

$\lambda ^{*}(11)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}({\sqrt {11}}+3)({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1)^{4}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}T_{TRI}^{-4}}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-{\tfrac {1}{2}}T_{TRI}^{-4}}}$

$\lambda ^{*}(13)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5{\sqrt {13}}-17}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {19-5{\sqrt {13}}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+\delta _{B}^{-3}}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-\delta _{B}^{-3}}}$

$\lambda ^{*}(15)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}(3-{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})$

$\lambda ^{*}(17)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3{\sqrt {17}}+11}}-{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}-{\sqrt[{4}]{4{\sqrt {17}}+16}}+{\sqrt[{4}]{4{\sqrt {17}}-16}})^{2}$

$\lambda ^{*}(19)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}(3{\sqrt {19}}+13)[{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\tfrac {1}{3}}(5-{\sqrt {19}})]^{4}$

$\lambda ^{*}(21)={\tfrac {1}{8}}({\sqrt {14}}-{\sqrt {6}})[({\sqrt {3}}+1){\sqrt {2{\sqrt {7}}-4}}-4+{\sqrt {7}}-{\sqrt {3}}]$

$\lambda ^{*}(23)={\tfrac {1}{32}}{\sqrt {2}}(5+{\sqrt {23}})[{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}]^{4}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+{\tfrac {1}{8}}\rho ^{-12}}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-{\tfrac {1}{8}}\rho ^{-12}}}$

$\lambda ^{*}(25)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})$

$\lambda ^{*}(31)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+{\tfrac {1}{8}}\psi ^{-12}}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-{\tfrac {1}{8}}\psi ^{-12}}}$

$\lambda ^{*}(37)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+({\sqrt {37}}-6)^{3}}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-({\sqrt {37}}-6)^{3}}}$

Литература

• Chandrasekharan, K. (1985), Elliptic Functions, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 281, Springer-Verlag, pp. 108–121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001
• Selberg, A. and Chowla, S. "On Epstein's Zeta-Function." J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl 0543.33001
• Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.
• Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), "Monstrous moonshine", Bulletin of the London Mathematical Society, 11 (3): 308–339, doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399, Zbl 0424.20010
• Conway, J. H. and Norton, S. P. "Monstrous Moonshine." Bull. London Math. Soc. 11, 308-339, 1979.
• Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), "Elliptic Modular Function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Rankin, Robert A. (1977), Modular Forms and Functions, Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020