В математике эллиптическая модульная лямбда-функция является неэлементарной голоморфной функцией на верхней полуплоскости комплексных чисел. Эта функция является неизменной относительно конгруэнтной подгруппы Γ(2). Она описывается как главный модуль (по-немецки Hauptmodul) модулярной кривой X(2).
Функция определяется как четвертая степень частного тета-функций Карла Густава Якоба Якоби:
![{\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}={\frac {\vartheta _{2}^{4}[0;\exp(i\pi \tau )]}{\vartheta _{3}^{4}[0;\exp(i\pi \tau )]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfafc5aef760a3ed90fef4996c029389fdaa528)
Важная дополнительная информация:
![{\displaystyle \theta _{2}(0,\tau )=\vartheta _{2}[0;\exp(i\pi \tau )]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp {\bigl [}i\pi \tau {\bigl (}k+{\frac {1}{2}}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d486a2e75c1cb5457c369216fdee4077e883aa)
![{\displaystyle \theta _{3}(0,\tau )=\vartheta _{3}[0;\exp(i\pi \tau )]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp(i\pi \tau k^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16af8dd1186332e0e94e3cb1b081bc68db5e217)
Конгруэнтная подгруппа Γ(2) эллиптической лямбда-функции имеет следующую структуру:
![{\displaystyle \Gamma (2)={\biggl \{}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )|\,a\equiv d\equiv 1(\operatorname {mod} 2);\,b\equiv c\equiv 0(\operatorname {mod} 2){\biggr \}}={\biggl \langle }{\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\biggr \rangle }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47401d8b46e3a02daa0d23b3d4851f9b4ff36177)
Фундаментальная область имеет следующий образец:
![{\displaystyle \operatorname {F} _{\lambda }={\biggl \{}\tau :\tau \in \mathbb {H} \,\land \,{\biggl [}{\biggl [}\operatorname {Re} (\tau )\in (-1,1)\,\land \,\operatorname {min} {\biggl (}{\biggl |}\tau -{\frac {1}{2}}{\biggr |};{\biggl |}z+{\frac {1}{2}}{\biggr |}{\biggr )}>{\frac {1}{2}}{\biggr ]}\,\lor \,\operatorname {Re} (\tau )=-1\,\lor \,{\biggl |}\tau +{\frac {1}{2}}{\biggr |}={\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218b0fc55bf11773e5a6dd0eccc6b70c270b19de)
Верхняя полуплоскость комплексных чисел имеет следующую классификацию:
![{\displaystyle \mathbb {H} ={\biggl \{}\gamma \,\bigcirc \tau :\tau \in \operatorname {F} _{\lambda }\,\land \,\gamma \in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\,\land \,\gamma \equiv {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,\operatorname {mod} (2){\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ea3de7c0c3f60acf49f5c7fb6a0ce31cdd8650)
Действительны следующие функциональные уравнения:
![{\displaystyle \lambda {\bigl (}-{\frac {1}{\tau }}{\bigr )}=1-\lambda (\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03e26995c99eee8331d917600c68d623f403929)
![{\displaystyle \lambda {\bigl (}-{\frac {\tau }{1-\tau }}{\bigr )}={\frac {1}{\lambda (\tau )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4183ca225d822337b1fc8255275e1c05bf0a1613)
![{\displaystyle \lambda {\bigl (}\tau +1{\bigr )}={\frac {\lambda (\tau )}{\lambda (\tau )-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef290dccef7ae299a8b5fcb5270d50b4b85976b4)
Существует следующая инвариантность голоморфной лямбда-функции:
![{\displaystyle \tau \longmapsto \tau +2;\tau \longmapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d1df1094c32ffd9b6b7da93e6a8cd0e3044f64)
Функция лямбда-звезда λ*(x) дает эллиптический модуль, так что частное от полного эллиптического интеграла первого рода пифагорова комплементарного элемента, деленного на полный эллиптический интеграл первого рода от самого модуля, равно квадратному корню из x.
![{\displaystyle K[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}]/K[\lambda ^{*}(x)]={\sqrt {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f704d34404fc3d81e644cc5691f8a83216d5b4)
Значения эллиптической модульной функции лямбда-звезда можно вычислить следующим образом:
![{\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\frac {\vartheta _{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{2}}{\vartheta _{3}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ba4b70f3c2c269e81efcf2fe896af2e762d1f7)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp {\biggl [}-{\bigl (}a+{\frac {1}{2}}{\bigr )}^{2}\pi {\sqrt {x}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2}{\biggl [}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}}){\biggr ]}^{-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1c10957f03ed247c2bf3ad1e20ac61f6b20b5b)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\biggl [}{\bigl (}a+{\frac {1}{2}}{\bigr )}\pi {\sqrt {x}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl [}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}}){\biggr ]}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3e2bbc3e671ace0e8584e603156236c907fadf)
Лямбда-звезда положительных рациональных чисел всегда являются положительными алгебраическими числами.
![{\displaystyle \lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26d781127a289ca9558bccc1ca883a9f702a206)
Следующее уравнение действительно для всех натуральных чисел n ∈ ℕ:
![{\displaystyle {\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\biggl \{}{\frac {2a}{n}}K{\biggl [}\lambda ^{*}{\bigl (}{\frac {1}{n}}{\bigr )}{\biggr ]};\lambda ^{*}{\bigl (}{\frac {1}{n}}{\bigr )}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b18f65efa03489bafbb2c4d4a8d51eda661801)
Эллиптические функции Якоби выражаются сокращениями sn, cn и dn.
![{\displaystyle \lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddcba0773112f9e1a5d79fd395de8e76759416ca)
Число x должно быть положительным числом, а n должно быть натуральным числом.
Эти симметричные алгебраические отношения существуют:
![{\displaystyle \lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45be0e6135c82543296743e963aea909e49a54c)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan\{\arcsin[\lambda ^{*}(x)]/2\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a59243659d18b863235caac6b7cbd165a48139e)
![{\displaystyle \tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(4/x)]\}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a429897a5f15766b01fdc3e25461395a24cfa6c)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(4/x)+\lambda ^{*}(x)+\lambda ^{*}(4/x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135c2908ab480591eaad2089e2401685a66acfdb)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2\lambda ^{*}(x)^{1/4}\lambda ^{*}(9x)^{1/4}-2\lambda ^{*}(x)^{3/4}\lambda ^{*}(9x)^{3/4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e35749d2ebd1f6abcdb4ed0bc581d28c1694a09)
![{\displaystyle \tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}-\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cd230d985c6cf09e450f81192769d4ca47815c)
![{\displaystyle =2{\sqrt {2}}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/4}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}^{1/4}+2{\sqrt {2}}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{3/4}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}^{3/4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb01ab35cfad62550d994c71eca9a4a11a8df446)
![{\displaystyle \tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/2}-\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{1/2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c9c8855596fa4cf66ab284e355aea809060b18f)
![{\displaystyle =2\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/12}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{1/12}+2\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{5/12}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{5/12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10696f4990794e41d49a0a3d84683f131f30ec8)
Важные константы, используемые в следующих:
имя константы
|
алгебраическое выражение
|
уравнение
|
Золотое сечение
|
|
|
Серебряное сечение
|
|
|
Бронзовое сечение
|
|
|
Постоянная трибоначчи
|
|
|
Пластическое число
|
|
|
Сверхзолотое сечение
|
|
|
Первые десять значений:
![{\displaystyle \lambda ^{*}(1)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b822593902f29dc08f9e6b67b1644536a197a79)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1=\delta _{S}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30f88f76f82aef9d4c06c347fad03c6c2123d7c)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(3)={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914df7c64722879c55b060a61a800608d0939999)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(4)=({\sqrt {2}}-1)^{2}=\delta _{S}^{-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a0995b820e2f9eca0be0358d07c83084398b85)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(5)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}(\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cbe502f6ecb98c2db1f6f77a4742ebefbe7c9cf)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(6)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c239129f039c9846a3de58205e727cb965db0e4d)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(7)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt {2}}(3-{\sqrt {7}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f456a650f6f3e35d1f2639c54e8805ed6ceeedb)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(8)=({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}})^{2}=(\delta _{S}-{\sqrt {2\delta _{S}}})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6fac65805cf8d273048971a6b97c3c8a24dea6)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(9)={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850ef403892b635f35bf980e9ca3aaa929ad7d8a)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(10)=({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be59d8242c0d0bfae3b7cca321a3875831c1d7e)
Дальнейшие значения нечетных чисел:
![{\displaystyle \lambda ^{*}(11)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}({\sqrt {11}}+3)({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1)^{4}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}T_{TRI}^{-4}}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-{\tfrac {1}{2}}T_{TRI}^{-4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d536111c4b4b411a911c92366ce63209293a73ee)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(13)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5{\sqrt {13}}-17}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {19-5{\sqrt {13}}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+\delta _{B}^{-3}}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-\delta _{B}^{-3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372c9c71d128b5f20611e2f2bdaaa9345c18aa74)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(15)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}(3-{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb528bd4272799715f3ddce220d3fbb214af18fc)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(17)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3{\sqrt {17}}+11}}-{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}-{\sqrt[{4}]{4{\sqrt {17}}+16}}+{\sqrt[{4}]{4{\sqrt {17}}-16}})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11b6471afc0d9f2c3e0c3b2795eec6f88e6275ac)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(19)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}(3{\sqrt {19}}+13)[{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\tfrac {1}{3}}(5-{\sqrt {19}})]^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4d57ebb80c223f5606a495362889dfd46dac0c)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(21)={\tfrac {1}{8}}({\sqrt {14}}-{\sqrt {6}})[({\sqrt {3}}+1){\sqrt {2{\sqrt {7}}-4}}-4+{\sqrt {7}}-{\sqrt {3}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acdbe98d70b35c60c8799626b3112c44f0313184)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(23)={\tfrac {1}{32}}{\sqrt {2}}(5+{\sqrt {23}})[{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}]^{4}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+{\tfrac {1}{8}}\rho ^{-12}}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-{\tfrac {1}{8}}\rho ^{-12}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdfa3b4427f3cbb6aafcb1a0de3999590d52b488)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(25)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5d1649b4f7aa9f9707658e51c674ed14943f84)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(31)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+{\tfrac {1}{8}}\psi ^{-12}}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-{\tfrac {1}{8}}\psi ^{-12}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c2652bf1aec8ced00afb8916cc6ab92ff0b232)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(37)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+({\sqrt {37}}-6)^{3}}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-({\sqrt {37}}-6)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4134a514669e28b7beb13fd0831a138e380d32b)
- Chandrasekharan, K. (1985), Elliptic Functions, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 281, Springer-Verlag, pp. 108–121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001
- Selberg, A. and Chowla, S. "On Epstein's Zeta-Function." J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl 0543.33001
- Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.
- Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), "Monstrous moonshine", Bulletin of the London Mathematical Society, 11 (3): 308–339, doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399, Zbl 0424.20010
- Conway, J. H. and Norton, S. P. "Monstrous Moonshine." Bull. London Math. Soc. 11, 308-339, 1979.
- Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), "Elliptic Modular Function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Rankin, Robert A. (1977), Modular Forms and Functions, Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020