Эллиптические функции Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Эллиптические функции Якоби — это набор основных эллиптических функций комплексного переменного и вспомогательных тета-функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение для . Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сделано на основе эллиптических функций Вейерштрасса. Эллиптические функции Якоби имеют в основном параллелограмме по два простых полюса и два простых нуля.

Введение[править | править код]

Существует эллиптическая функция, имеющая в основном параллелограмме один полюс второго порядка и два простых нуля; это — «эллиптическая функция Вейерштрасса». Впрочем, более полезны «эллиптические функции Якоби», имеющие по два простых полюса и по два простых нуля в каждом основном параллелограмме. Каждая из этих функций в основном параллелограмме принимает любое значение в точности два раза.

Обозначение[править | править код]

Для эллиптических функций можно встретить разнообразные обозначения, которые могут запутать суть дела. Эллиптические функции — функции двух переменных. Первую переменную можно дать в терминах амплитуды , или обычно, в терминах , данного ниже. Вторую переменную можно было бы дать в терминах параметра , или как эллиптический модуль , где , или в терминах модулярного угла , где .

Определение как обратные к эллиптическим интегралам[править | править код]

Приведённое выше определение в терминах мероморфных функций абстрактно. Существует более простое, но абсолютно эквивалентное определение, задающее эллиптические функции как обратные к неполному эллиптическому интегралу первого рода. Пусть

Эллиптическая функция задаётся как

и определяется

а

Здесь угол называется амплитудой. называется дельта амплитудой. Значение является свободным параметром, который полагается реальным в диапазоне , и таким образом эллиптические функции являются функциями двух аргументов: амплитуды и параметра .

Оставшиеся девять эллиптических функций легко построить из трёх вышеприведённых. Это будет сделано ниже.

Заметьте, что когда , то равен четверти периода .

Определение в терминах тета-функций[править | править код]

Эквивалентно эллиптические функции Якоби можно определить в терминах θ-функций. Если мы определим как , и соответственно как (тета константы) тогда эллиптический модуль равен . Полагая , получим



Поскольку функции Якоби определяются в терминах эллиптического модуля , необходимо найти обратные к ним и выразить в терминах . Начнём с дополнительного модуля . Как функция запишем

Введём обозначение

Определим также ном как и разложим в ряд по степеням нома . Получим

Обращение ряда даёт

Поскольку мы можем рассмотреть частный случай когда мнимая часть больше или равна , мы можем сказать, что значение меньше или равно . Для таких малых значений вышеприведённый ряд сходится очень быстро, и это позволяет легко найти подходящее значение для .

Другие функции[править | править код]

Изменением порядка двух букв в названии функций обычно обозначают обратные к трём функциям приведённых выше:

Отношения трёх главных функций обозначают первой буквой числителя, следующей перед первой буквой знаменателя:

Более кратко запишем

где все буквы , , и являются любыми буквами , , , (следует помнить, что ).

Дополнительные теоремы[править | править код]

Функции удовлетворяют двум алгебраическим соотношениям

Видно, что (, , ) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик определённой вышеупомянутыми двумя уравнениями. Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнительных формул для функций Якоби



Тригонометрические и гиперболические функции, как частный случай эллиптических[править | править код]

  • Если , то

Отсюда

Отсюда

и

Таким образом, при эллиптические функции вырождаются в гиперболические.

  • Если , то

Отсюда

а также

Таким образом, при эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.

Соотношение между квадратами функций[править | править код]

Для квадратов этих функций верны следующие соотношения

где и .

Дополнительные равенства для квадратов можно получить если заметить, что , а также , где , ,  — любые буквы , , , и .

Ном[править | править код]

Пусть ном равен и пусть аргумент — . Тогда функции можно представить в виде сумм Ламберта

Решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений[править | править код]

Производные трёх основных эллиптических функций Якоби записываются в виде:



Используя теорему, формулировка которой приведена выше получим для заданного () уравнения решениями которых являются эллиптические функции Якоби:

  • является решением уравнения и
  • является решением уравнения и
  • является решением уравнения и

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. — М. : Наука, 1970.
  • Ватсон Дж. Н., Уиттекер Э. Т. Курс современного анализа. Часть 2. Трансцендентные функции. — М. : Мир, 1963. или Москва: УРСС, 2010