Эллиптические функции Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эллиптические функции Якоби — это набор основных эллиптических функций комплексного переменного, и вспомогательных тэта-функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение \operatorname{\mathrm{sn}} для \sin. Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сказано на основе эллиптических функций Вейерштрасса. Эллиптические функции Якоби имеют в основном параллелограмме по два простых полюса и два простых нуля.

Введение[править | править исходный текст]

Существует эллиптическая функция, имеющая в основном параллелограмме один полюс второго порядка и два простых нуля; это — «эллиптическая функция Вейерштрасса». Впрочем, более полезны «эллиптические функции Якоби», имеющие по два простых полюса и по два простых нуля в каждом основном параллелограмме. Каждая из этих функций в основном параллелограмме принимает любое значение в точности два раза.

Обозначение[править | править исходный текст]

Для эллиптических функций можно встретить разнообразные обозначения, которые могут запутать суть дела. Эллиптические функции — функции двух переменных. Первую переменную можно дать в терминах амплитуды φ, или обычно, в терминах u, данного ниже. Вторую переменную можно было бы дать в терминах параметра m, или как эллиптический модуль k, где k ² = m, или в терминах модулярного угла o\!\varepsilon\,\!, где m=\sin^2o\!\varepsilon\,\!.

Определение как обратные к эллиптическим интегралам[править | править исходный текст]

Приведённое выше определение в терминах мероморфных функций абстрактно. Существует более простое, но абсолютно эквивалентное определение, задающее эллиптические функции как обратные к неполному эллиптическому интегралу первого рода. Пусть

u=\int\limits_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}.

Эллиптическая функция sn u задаётся как

\operatorname {sn}\; u = \sin \phi\,

и cn u определяется

\operatorname {cn}\; u = \cos \phi

а

\operatorname {dn}\; u = \sqrt {1-m\sin^2 \phi}.\,

Здесь угол \phi называется амплитудой. \operatorname {dn}\; u = \Delta(u) называется дельта амплитудой. Значение m является свободным параметром, который полагается реальным в диапазоне 0\leq m \leq 1, и таким образом эллиптические функции являются функциями двух аргументов: амплитуды \phi и параметра m.

Оставшиеся девять эллиптических функций легко построить из трёх вышеприведённых. Это будет сделано ниже.

Заметьте, что когда \phi=\pi/2, то u равен четверти периода K.

Определение в терминах тэта-функций[править | править исходный текст]

Эквивалентно эллиптические функции Якоби можно определить в терминах θ-функций. Если мы определим \vartheta(0;\tau) как \vartheta, и \vartheta_{01}(0;\tau), \vartheta_{10}(0;\tau), \vartheta_{11}(0;\tau) соответственно как \vartheta_{01}, \vartheta_{10}, \vartheta_{11} (тэта константы) тогда эллиптический модуль k равен k=({\vartheta_{10} \over \vartheta})^2. полагая u = \pi \vartheta^2 z, получим

\mbox{sn}(u; k) = -{\vartheta \vartheta_{11}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}


\mbox{cn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta_{10}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}


\mbox{dn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta(z;\tau) \over \vartheta \vartheta_{01}(z;\tau)}

Поскольку функции Якоби определяются в терминах эллиптического модуля k(\tau), необходимо найти обратные к ним и выразить τ в терминах k. Начнём с дополнительного модуля k' = \sqrt{1-k^2}. Как функция τ запишем

k'(\tau) = ({\vartheta_{01} \over \vartheta})^2.

Введём обозначение

\ell = {1 \over 2} {1-\sqrt{k'} \over 1+\sqrt{k'}} =
{1 \over 2} {\vartheta - \vartheta_{01} \over \vartheta + \vartheta_{01}}.

Определим также ном q как q = \exp (\pi i \tau) и разложим \ell в ряд по степеням нома q. Получим

\ell = {q+q^9+q^{25}+ \cdots \over 1+2q^4+2q^{16}+ \cdots}.

Обращение ряда даёт

q = \ell+2\ell^5+15\ell^9+150\ell^{13}+1707\ell^{17}+20910\ell^{21}+268616\ell^{25}+\cdots.

Поскольку мы можем рассмотреть частный случай когда мнимая часть τ больше или равна \sqrt{3}/2, мы можем сказать, что значение q меньше или равно \exp(-\pi \sqrt{3}/2). Для таких малых значений вышеприведённый ряд сходится очень быстро, и это позволяет легко найти подходящее значение для q.

Другие функции[править | править исходный текст]

Изменением порядка двух букв в названии функций обычно обозначают обратные к трём функциям приведённых выше:


\operatorname{ns}(u)=1/\operatorname{sn}(u)

\operatorname{nc}(u)=1/\operatorname{cn}(u)

\operatorname{nd}(u)=1/\operatorname{dn}(u)

Отношения трех главных функций обозначают первой буквой числителя, следующей перед первой буквой знаменателя:


\operatorname{sc}(u)=\operatorname{sn}(u)/\operatorname{cn(u)}

\operatorname{sd}(u)=\operatorname{sn}(u)/\operatorname{dn(u)}

\operatorname{dc}(u)=\operatorname{dn}(u)/\operatorname{cn(u)}

\operatorname{ds}(u)=\operatorname{dn}(u)/\operatorname{sn(u)}

\operatorname{cs}(u)=\operatorname{cn}(u)/\operatorname{sn(u)}

\operatorname{cd}(u)=\operatorname{cn}(u)/\operatorname{dn(u)}

Более кратко запишем

\operatorname{pq}(u)=\frac{\operatorname{pr}(u)}{\operatorname{qr(u)}}

где все буквы p, q, и r являются любыми буквами s, c, d, n (следует помнить, что ss = cc = dd = nn = 1).

Дополнительные теоремы[править | править исходный текст]

Функции удовлетворяют двум алгебраическим соотношениям

\operatorname{cn}^2 + \operatorname{sn}^2 = 1,\,
\operatorname{dn}^2 + k^2 \operatorname{sn}^2 = 1.\,

Видно, что (cn, sn, dn) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик определенной вышеупомянутыми двумя уравнениями. Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнениятельных формул для функций Якоби

\operatorname{cn}(x+y) = 
{\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) 
- \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) 
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}},


\operatorname{sn}(x+y) = 
{\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) +
\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x) 
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}},


\operatorname{dn}(x+y) = 
{\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) 
- k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) 
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}.

Тригонометрические и гиперболические функции, как частный случай эллиптических[править | править исходный текст]

  • Если m = 1, то
u = \int\limits_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin^2{\theta}}} = \operatorname{ln}\left(\frac{1}{\cos\varphi} - \operatorname{tg}\varphi\right);

Отсюда

\sin\varphi = \operatorname{sn}\,u = \frac{e^u-1}{e^u+1} = \operatorname{th}\,u

Отсюда

\operatorname{cn}\,u = \sqrt{1-\operatorname{sn}^2\,u} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,u}

и

\operatorname{dn}\,u = \sqrt{1-\operatorname{sn}^2\,u} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,u}

Таким образом, при m = 1 эллиптические функции вырождаются в гиперболические.

  • Если m = 0, то
u = \int\limits_0^\varphi d\theta = \varphi;

Отсюда

\sin\varphi = \sin\,u = \operatorname{sn}\,u,

а также

\operatorname{cn}\,u = \cos\,u,
\operatorname{dn}\,u = 1,

Таким образом, при m = 0 эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.

Соотношение между квадратами функций[править | править исходный текст]

Для квадратов этих функций верны следующие соотношения


-\operatorname{dn}^2(u)+m_1= -m\;\operatorname{cn}^2(u) = m\;\operatorname{sn}^2(u)-m

-m_1\;\operatorname{nd}^2(u)+m_1= -mm_1\;\operatorname{sd}^2(u) = m\;\operatorname{cd}^2(u)-m

m_1\;\operatorname{sc}^2(u)+m_1= m_1\;\operatorname{nc}^2(u) = \operatorname{dc}^2(u)-m

\operatorname{cs}^2(u)+m_1=\operatorname{ds}^2(u)=\operatorname{ns}^2(u)-m

где m+m_1=1 и m=k^2.

Дополнительные равенства для квадратов можно получить если заметить, что \operatorname{pq}^2 \cdot  \operatorname{qp}^2 = 1, а также \operatorname{pq}=\operatorname{pr}/\operatorname{qr} где p, q, r — любые буквы s, c, d, n и ss = cc = dd = nn = 1.

Ном[править | править исходный текст]

Пусть ном равен q=\exp(-\pi K'/K) и пусть аргумент — v=\pi u /(2K). Тогда функции можно представить в виде сумм Ламберта

\operatorname{sn}(u)=\frac{2\pi}{K\sqrt{m}}
\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}} \sin (2n+1)v,
\operatorname{cn}(u)=\frac{2\pi}{K\sqrt{m}}
\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}} \cos (2n+1)v,
\operatorname{dn}(u)=\frac{\pi}{2K} + \frac{2\pi}{K}
\sum_{n=1}^\infty \frac{q^{n}}{1+q^{2n}} \cos 2nv.

Решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений[править | править исходный текст]

Производные трёх основных эллиптических функций Якоби записываются в виде:


\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{sn}\,(z; k) = \mathrm{cn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),


\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{cn}\,(z; k) = -\mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),


\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{dn}\,(z; k) = - k^2 \mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{cn}\,(z;k).

Используя теорему, формулировка которой приведена выше получим для заданного k (0 < k < 1) уравнения решениями которых являются эллиптические функции Якоби:

  • \mathrm{sn}\,(x;k) является решением уравнения \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1+k^2) y - 2 k^2 y^3 = 0, и  \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 y^2)
  • \mathrm{cn}\,(x;k) является решением уравнения \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1-2k^2) y + 2 k^2 y^3 = 0, и  \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 + k^2 y^2)
  • \mathrm{dn}\,(x;k) является решением уравнения \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - (2 - k^2) y + 2 y^3 = 0, и  \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (y^2 - 1) (1 - k^2 - y^2)

Ссылки[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Н. И. Ахиезер Элементы теории эллиптических функций. — Москва: Наука, 1970.
  • Дж. Н. Ватсон Э. Т. Уиттекер Курс современного анализа. Ч.2. Трансцендентные функции. — Москва: Мир, 1963. или Москва: УРСС, 2010