Эллиптические функции Вейерштрасса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций (зависящих от эллиптической кривой) назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют -функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ (стилизованное P).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть задана эллиптическая кривая , где  — решётка в . Тогда -функцией Вейерштрасса на ней называется мероморфная функция, заданная как сумма ряда

Можно увидеть, что так определённая функция будет -периодичной на , и потому является мероморфной функцией на .

Задающий функцию Вейерштрасса ряд является, в определённом смысле, «регуляризованной версией» расходящегося ряда  — «наивной» попытки задать -периодическую функцию. Этот последний абсолютно расходится (а при отсутствии естественного порядка на имеет смысл говорить только об абсолютной сходимости) при всех z, поскольку при фиксированном z и при больших w модули его членов ведут себя как, а сумма по двумерной решётке расходится.

Варианты определения[править | править вики-текст]

Задавая решётку её базисом, , можно записать

Также, поскольку функция Вейерштрасса как функция трёх переменных однородна, , обозначив , имеет место равенство

Поэтому рассматривают

Свойства[править | править вики-текст]

  • Функция Вейерштрасса  — чётная мероморфная функция на эллиптической кривой E, с единственным полюсом второго порядка в точке 0.
  • Как мероморфное отображение степени 2, она задаёт двулистное разветвлённое накрытие сферы Римана тором E. У этого накрытия есть четыре точки ветвления: бесконечность и три критических значения . Эти четыре значения являются образами четырёх точек, оставляемых на месте автоморфизмом кривой E — точки 0 и трёх полупериодов . Таким образом, функция Вейерштрасса осуществляет изоморфизм (или, точнее, спускается до изоморфизма) между топологической сферой (наследующей с E комплексную структуру) и сферой Римана .
  • Воспользовавшись разложением и просуммировав по , можно получить разложение в точке функции Вейерштрасса в ряд Лорана:

где  — ряды Эйзенштейна для решётки  (соответствующие нечётные суммы равны нулю).

Однако, коэффициенты при и зачастую записывают в другой, традиционной, нормировке, связанной (см. ниже) с вложением эллиптической кривой в :

где и  — модулярные инварианты решётки :

Вложение эллиптических кривых в [править | править вики-текст]

Функции Вейерштрасса позволяют построить вложение эллиптической кривой в , предъявив уравнение, которым задаётся образ. Это устанавливает соответствие между «алгебраическим» и «топологическим» взглядами на эллиптическую кривую — позволяя вложить эллиптическую кривую в и выписать явно уравнение, задающее образ.

А именно, рассмотрим отображение , задаваемое вне точки как Поскольку функция мероморфная — это отображение продолжается до голоморфного отображения из в .

Образ этого отображение может быть явно задан. А именно, единственный полюс как функции , так и функции  — это точка . Более того, поскольку  — чётная функция,  — нечётная, и, соответственно,  — чётная. Функция имеет в нуле полюс второго порядка — поэтому полюса могут быть убраны вычитанием линейной комбинации степеней . Явно подбирая коэффициенты из разложений

видим, что разница

в точке неособая. Но голоморфна и вне (в силу голоморфности и ), поэтому  — голоморфная на всей компактной римановой поверхности функция. В силу принципа максимума  — константа. Наконец, из всё того же разложения в нуле находим её значение — оно оказывается равным . Окончательно, функция обращается на в тождественный нуль. Тем самым, образ отображения это эллиптическая кривая в , задаваемая уравнением

Собственно говоря, именно с этим связаны «исторические» коэффициенты 60 и 140, связывающие модулярные инварианты и с соответствующими суммами обратных степеней и : это традиционный выбор нормировки, благодаря которому в уравнении на кривую и это в точности коэффициент при и свободный член.

Голоморфные формы, решётки периодов и обратное отображение[править | править вики-текст]

Для эллиптической кривой задающая её решётка не является однозначно заданной: она определена с точностью до пропорциональности. Однако, решётка взаимно-однозначно соответствует паре , где  — ненулевая голоморфная 1-форма на : в качестве можно взять проекцию на формы на , тогда восстанавливается как набор всевозможных интегралов по петлям на торе :

На эллиптической кривой , являющейся образом отображения , имеется голоморфная форма . Несложно видеть, что она является в точности образом формы на при отображении . Это позволяет прийти сразу к нескольким выводам:

  • Обратное отображение к отображению ищется как интеграл формы :

где интегрирование производится по пути, лежащему на эллиптической кривой . Бесконечно удалённая точка на кривой при этом выбрана как начало пути интегрирования, поскольку является F-образом точки , а изменение выбора пути на другой приводит к изменению результата на элемент решётки периодов .

  • Обратное отображение к функции Вейерштрасса задаётся как

(выбор знака соответствует выбору одного из двух прообразов на эллиптической кривой, а изменение пути интегрирования приводит к сдвигу вычисленного прообраза на элемент ).

  • Решётка восстанавливается как множество интегралов формы по всевозможным замкнутым путям на эллиптической кривой .


Сложение точек на эллиптической кривой[править | править вики-текст]

Эллиптическая кривая является (или, точнее, может быть сделана) абелевой группой по сложению. Для «алгебраического» представления это просто сложение точек . Для «геометрического» — как вложенной в кривой  — это сложение задаётся выбором в качестве нуля бесконечно удалённой точки и правилом «три точки, лежащие на одной прямой, в сумме дают ноль».

Естественно ожидать, что построенное по функции Вейерштрасса отображение переводит заданное алгебраически сложение в заданное геометрически — что и имеет место. Этому (поскольку коллинеарность трёх точек задаётся обращением в ноль определителя) соответствует следующее соотношение:

для любых . Также, ввиду чётности и нечётности , оно может быть записано как

Применение в голоморфной динамике[править | править вики-текст]

С помощью -функции Вейерштрасса строится пример Латтэ — пример рационального отображения сферы Римана в себя, множество Фату которого пусто (и, тем самым, динамика которого везде хаотична). А именно, взяв , можно рассмотреть отображение удвоение на торе :

Это отображение хаотично везде — сколь угодно маленькая окрестность через конечное число итераций покрывает весь тор.

С другой стороны — отображение корректно спускается на фактор . Поэтому отображение D отображением полусопряжено некоторому рациональному отображению :

Иными словами,

Для такого отображения образы малых окрестностей также через конечное число итераций закрывают всю сферу Римана. Поэтому множество Жюлиа , а множество Фату, соответственно, пусто.

Наконец, несложно видеть, что степень отображения равна четырём (поскольку отображение на торе имеет степень 4), и его коэффициенты можно найти явно, вычислив достаточное число коэффициентов ряда Тейлора в нуле через ряд Лорана для (и, соответственно, для ).


Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of , Topology 18 (1979), no. 2, p. 143—146.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного.
  • A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2