Яма с бесконечными стенками

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Яма с бесконечными стенками, в квантовой механике, представляет собой модель частицы, заключённую в "ящике" определённой формы. В одномерном случае этот ящик представляет собой конечный отрезок. Внутри отрезка потенциал считается нулевым. Во всех остальных точках вещественной прямой потенциал обращается в бесконечность. Математически это обычно отражают в граничных условиях, считая, что волновые функции обращаются в нуль на концах отрезка. Данный потенциал является предельным случаем прямоугольной квантовой ямы. В многомерном случае потенциал считается равным нулю внутри некоторой области, на границах которой ставятся граничные условия Дирихле. Часто рассматривают прямоугольную область (прямоугольный "ящик").

Одномерная потенциальная яма с бесконечными стенками[править | править исходный текст]

Потенциал одномерной потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет вид

U(x) = \begin{cases}
0, & x \in (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}),\\
\infty, & x \notin (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2})
\end{cases}

Стационарное уравнение Шрёдингера на интервале \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)

-\frac{\hbar^2}{2m} \Psi''(x)=E\Psi(x).

С учётом обозначения k = \sqrt{2 m E / \hbar^2}, оно примет вид:

 \Psi''(x) + k^2 \Psi(x) = 0.

Общее решение удобно представить в виде линейной оболочки чётных и нечётных функций:

\Psi(x) = C^+ \cos k x + C^- \sin k x.

Граничные значения имеют вид:

\Psi \left(-\frac{a}{2}\right) = \Psi \left(\frac{a}{2} \right) = 0.

Они приводят к однородной системе линейных уравнений:

\begin{cases}
C^+ \cos \frac{k a}{2} + C^- \sin \frac{k a}{2} = 0,\\
C^+ \cos \frac{k a}{2} - C^- \sin \frac{k a}{2} = 0,
\end{cases}

которая имеет нетривиальные решения при условии равенства нулю её определителя:


- 2\cos \frac{k a}{2}\sin \frac{k a}{2} = 0,

что после тригонометрических преобразований принимает вид:


\sin k a = 0.

Корни этого уравнения имеют вид


k_{n} = \frac{\pi n}{a}, \qquad n \in \mathbb{Z}_+.

Подставляя в систему, имеем:

C^-_n = 0, \qquad n = 2 n_0 + 1, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+,
C^+_n = 0, \qquad n = 2 n_0 , \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+.

Таким образом, решения распадаются на две серии — чётных и нечётных решений:

\Psi_{n_0}^+(x) = C^+_{2 n_0 + 1} \cos \frac{(2 n_0 + 1) \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+,
\Psi_{n_0}^-(x) = C^-_{2 n_0} \sin \frac{2 n_0 \pi  x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+.

Тот факт, что решения разбиваются на чётные и нечётные связан с тем, что потенциал сам по себе является чётной функцией. С учётом нормировки

 \int\limits_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \left(\Psi_{n_0}^{\pm}(x)\right)^2 dx = 1,

получим явный вид нормировочных множителей:

 C^+_{2 n_0 + 1} = C^-_{2 n_0} =\sqrt{\frac{2}{a}}.

В результате получим собственные функции гамильтониана:

\Psi_{n_0}^+(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \cos \frac{(2 n_0 + 1) \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+,
\Psi_{n_0}^-(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{2 n_0 \pi  x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+,

с соответствующим энергетическим спектром:

E^+_{n_0} = \frac{\hbar^2 \pi^2 (2 n_0 + 1)^2}{2m a}
E^-_{n_0} = \frac{2 \hbar^2 \pi^2 n_0^2}{m a}

ошибка! внизу а^2

Литература[править | править исходный текст]

  • Бом Д. Квантовая теория. — Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
  • Флюгге З. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.