Волны де Бройля

Во́лны де Бро́йля — волны вероятности (или волны амплитуды вероятности), определяющие плотность вероятности обнаружения объекта в заданной точке конфигурационного пространства. В соответствии с принятой терминологией говорят, что волны де Бройля связаны с любыми частицами и отражают их волновую природу.

Идея о волнах, связанных не только с квантами света, но и массивными частицами, предложена Луи де Бройлем в 1923—1924 годах и называется гипотезой де Бройля. Хотя трактовка квадрата модуля амплитуды волны как плотности вероятности в конфигурационном пространстве принадлежит Максу Борну, по традиции и в знак признания заслуг французского физика говорят о волнах де Бройля.

Идея волн де Бройля полезна для приблизительных выводов о масштабах проявления волновых свойств частиц, но не отражает всей физической реальности и потому не лежит в основе математического аппарата квантовой механики. Вместо дебройлевских волн эту роль в квантовой механике выполняет волновая функция, а в квантовой теории поля — полевые операторы.

Корпускулярно-волновой дуализм фотонов и массивных частиц

Физика атомов, молекул и их коллективов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Квантовые эффекты являются существенными, если характерное значение действия (произведение характерной энергии на характерное время или характерного импульса на характерное расстояние) становится сравнимым с $\hbar$ (постоянная Планка). Если частицы движутся со скоростями много меньше, чем скорость света в вакууме $c$, то применяется нерелятивистская квантовая механика; при скоростях близких к $c$ — релятивистская квантовая механика.

В основе квантовой механики лежат представления Планка о дискретном характере изменения энергии атомов, Эйнштейна о фотонах, данные о квантованности некоторых физических величин (например, импульса и энергии), характеризующих в определённых условиях состояния частиц микромира. В то же время было твёрдо установлено, что свет проявляет свойства не только потока частиц, но и волны, то есть обладает корпускулярно-волновым дуализмом.

Де Бройль выдвинул идею о том, что волновой характер распространения, установленный для фотонов, имеет универсальный характер. Он должен проявляться для любых частиц, обладающих импульсом $p$. Все частицы, имеющие конечный импульс $p$, обладают волновыми свойствами, в частности, подвержены интерференции и дифракции.

Природа волн де Бройля

Волны де Бройля имеют специфическую природу, не имеющую аналогии среди волн, изучаемых в классической физике: квадрат модуля амплитуды волны де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Дифракционные картины, которые наблюдаются в опытах, являются проявлением статистической закономерности, согласно которой частицы попадают в определённые места в приёмниках — туда, где интенсивность волны де Бройля оказывается наибольшей. Частицы не обнаруживаются в тех местах, где, согласно статистической интерпретации, квадрат модуля амплитуды «волны вероятности» обращается в нуль.

Формулы де Бройля

Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны $\lambda$, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса $p$ частицы, а полной энергии $E$ — от частоты $\nu$, в виде релятивистски инвариантных соотношений:

$\lambda ={\frac {h}{p}},$

$E=h\nu ,$

где $h$ — постоянная Планка.

Другой вид формул де Бройля:

$\mathbf {p} ={\frac {h}{2\pi }}\mathbf {k} =\hbar \mathbf {k} ,$

$E=\hbar \omega ,$

где $\mathbf {k} ={\frac {2\pi }{\lambda }}\mathbf {n}$ — волновой вектор, модуль которого $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ — волновое число — есть число длин волн, укладывающихся на $2\pi$ единицах длины, $\omega =2\pi \nu$ — циклическая частота, $\mathbf {n}$ — единичный вектор в направлении распространения волны, $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}\approx 1{,}05\cdot 10^{-34}$ Дж·с.

Полная энергия $E=E_{K}+m_{0}c^{2}$ включает кинетическую энергию $E_{K}$ и энергию покоя $E_{0}=m_{0}c^{2}$, в терминах которых

$\lambda ={\frac {h}{p}}=hc[E_{K}(E_{K}+2m_{0}c^{2})]^{-1/2},$

где hc=1240 эВ×нм, и значения $m_{0}c^{2}$ равны 0 для фотона и других безмассовых частиц, $m_{e}c^{2}=$511 кэВ для электрона, и $m_{p}c^{2}=$938 МэВ для протона.

Нерелятивистский предел

У частиц с дорелятивистскими энергиями, движущимися со скоростью $v\ll c$ (скорости света), для импульса справедлива формула $p=mv$ (где $m$ — масса частицы), для кинетической энергии $W=E-mc^{2}$ — формула $W=mv^{2}/2$. Тогда длина волны де Бройля

$\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}={\frac {h}{\sqrt {2mW}}}.$

В частности, для электрона, который ускорился в электрическом поле с разностью потенциалов $\Delta \varphi$ вольт

$\lambda ={\frac {12{,}25}{\sqrt {\Delta \varphi }}}\;\mathrm {\AA} .$

Ультрарелятивистский предел

Для частиц в ультрарелятивистском случае, когда их скорость близка к скорости света, $v\rightarrow c,E\gg mc^{2}$, длины волны равна $\lambda ={\frac {hc}{E}}$.

Формулы де Бройля для четырёхвекторов

В четырёхмерном виде формулы де Бройля связывают четырёхвектор энергии-импульса $p^{\mu }$ с четырёхмерным волновым вектором и имеют вид:

$p^{\mu }={\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}=\hbar {\begin{pmatrix}\omega /c\\k_{x}\\k_{y}\\k_{z}\end{pmatrix}}.$

Энергия и импульс любого материального объекта связаны соотношением:

${\frac {E^{2}}{c^{2}}}=m^{2}c^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}.$

Аналогичным соотношением связаны частота и волновой вектор:

${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}+k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.$

Фазовая и групповая скорость волн де Бройля

Фазовая скорость волн де Бройля свободной частицы

$v_{f}={\frac {\omega }{k}}={\frac {E}{p}}={\frac {mc^{2}}{mv}}={\frac {c^{2}}{v}}\simeq {\frac {c^{2}}{h}}m\lambda ={\frac {c^{2}p^{2}}{2Wh}}\lambda .$

Последние соотношения — нерелятивистское приближение. Зависимость фазовой скорости дебройлевских волн от длины волны указывает на то, что эти волны испытывают дисперсию. Фазовая скорость $v_{f}$ волны де Бройля хотя и больше скорости света, но относится к числу величин, принципиально неспособных переносить информацию (является чисто математическим объектом).

Групповая скорость волны де Бройля $u$ равна скорости частицы $v$:

$u={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {dE}{dp}}=v$.

Экспериментальная проверка

Гипотеза де Бройля объясняет ряд экспериментов, необъяснимых в рамках классической физики:

• Опыт Дэвиссона — Джермера по дифракции электронов на кристаллах никеля.
• Опыт Дж. П. Томсона по дифракции электронов на металлической фольге.
• Эффект Рамзауэра аномального уменьшения сечения рассеяния электронов малых энергий атомами аргона.
• Дифракция нейтронов на кристаллах (опыты Г. Хальбана, П. Прайсверка и Д. Митчелла).

Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным. Впрочем, наблюдать квантовые эффекты можно и в макроскопическом масштабе, особенно ярким примером этому служат сверхпроводимость и сверхтекучесть.

См. также

• Волновой пакет
• Комптоновская длина волны
• Ток вероятности

Литература

• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4. — 3-е изд. — М: Мир, 1976. — 496 с.

Ссылки

• Волны де Бройля / лекция «Элементы квантовой механики»
• Соотношение де Бройля // «Элементы»