Волна де Бройля

Волна́ де Бро́йля — волна вероятности (или волна амплитуды вероятности), определяющая плотность вероятности обнаружения объекта в заданном интервале конфигурационного пространства. В соответствии с принятой терминологией говорят, что волны де Бройля связаны с любыми частицами и отражают их волновую природу.

Идея о волнах, связанных не только с квантами света, но и массивными частицами, предложена Луи де Бройлем в 1923—1924 годах и называется гипотезой де Бройля. Хотя трактовка квадрата модуля амплитуды волны как плотности вероятности в конфигурационном пространстве принадлежит Максу Борну, по традиции и в знак признания заслуг французского физика говорят о волнах де Бройля.

Идея волн де Бройля полезна для приблизительных выводов о масштабах проявления волновых свойств частиц, но не отражает всей физической реальности и потому не лежит в основе математического аппарата квантовой механики. Вместо дебройлевских волн эту роль в квантовой механике выполняет волновая функция, а в квантовой теории поля — полевые операторы.

Корпускулярно-волновой дуализм фотонов и массивных частиц

Физика атомов, молекул и их коллективов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Квантовые эффекты являются существенными, если характерное значение действия (произведение характерной энергии на характерное время или характерного импульса на характерное расстояние) становится сравнимым с $\hbar$ (постоянная Планка). Если частицы движутся со скоростями много меньше, чем скорость света в вакууме $c$, то применяется нерелятивистская квантовая механика; при скоростях, близких к $c$, — релятивистская квантовая механика.

В основе квантовой механики лежат представления Планка о дискретном характере изменения энергии атомов, Эйнштейна о фотонах, данные о квантованности некоторых физических величин (например, импульса и энергии), характеризующих в определённых условиях состояния частиц микромира. В то же время было твёрдо установлено, что свет проявляет свойства не только потока частиц, но и волны, то есть обладает корпускулярно-волновым дуализмом.

Де Бройль выдвинул идею о том, что волновой характер распространения, установленный для фотонов, имеет универсальный характер. Он должен проявляться для любых частиц, обладающих импульсом $p$. Все частицы, имеющие конечный импульс $p$, обладают волновыми свойствами, в частности, подвержены интерференции и дифракции.

Природа волн де Бройля

Волны де Бройля имеют специфическую природу, не имеющую аналогии среди волн, изучаемых в классической физике: квадрат амплитуды волны де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Дифракционные картины, которые наблюдаются в опытах, являются проявлением статистической закономерности, согласно которой частицы попадают в определённые места в приёмниках — туда, где интенсивность волны де Бройля оказывается наибольшей. Частицы не обнаруживаются в тех местах, где, согласно статистической интерпретации, квадрат модуля амплитуды «волны вероятности» обращается в нуль.

Формулы де Бройля

Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны $\lambda$, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса $p$ частицы, а полной энергии $E$ — от частоты $\nu$, в виде релятивистски инвариантных соотношений:

$\lambda ={\frac {h}{p}},$

$E=h\nu ,$

где $h$ — постоянная Планка.

Другой вид формул де Бройля:

$\mathbf {p} ={\frac {h}{2\pi }}\mathbf {k} =\hbar \mathbf {k} ,$

$E=\hbar \omega ,$

где $\mathbf {k} ={\frac {2\pi }{\lambda }}\mathbf {n}$ — волновой вектор, модуль которого $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ — волновое число — есть число длин волн, укладывающихся на $2\pi$ единицах длины, $\omega =2\pi \nu$ — циклическая частота, $\mathbf {n}$ — единичный вектор в направлении распространения волны, $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}\approx 1{,}05\cdot 10^{-34}$ Дж·с.

Полная энергия $E=E_{K}+m_{0}c^{2}$ включает кинетическую энергию $E_{K}$ и энергию покоя $E_{0}=m_{0}c^{2}$, в терминах которых

$\lambda ={\frac {h}{p}}=hc[E_{K}(E_{K}+2m_{0}c^{2})]^{-1/2},$

где hc=1240 эВ×нм, и значения $m_{0}c^{2}$ равны 0 для фотона и других безмассовых частиц, $m_{e}c^{2}=$511 кэВ для электрона, и $m_{p}c^{2}=$938 МэВ для протона.

Нерелятивистский предел

У частиц с дорелятивистскими энергиями, движущимися со скоростью $v\ll c$ (скорости света), для импульса справедлива формула $p=mv$ (где $m$ — масса частицы), для кинетической энергии $W=E-mc^{2}$ — формула $W=mv^{2}/2$. Тогда длина волны де Бройля

$\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}={\frac {h}{\sqrt {2mW}}}.$

В частности, для электрона, который ускорился в электрическом поле с разностью потенциалов $\Delta \varphi$ вольт

$\lambda ={\frac {12{,}25}{\sqrt {\Delta \varphi }}}\;\mathrm {\AA} .$

Ультрарелятивистский предел

Для частиц в ультрарелятивистском случае, когда их скорость близка к скорости света, $v\rightarrow c,E\gg mc^{2}$, длины волны равна $\lambda ={\frac {hc}{E}}$.

Формулы де Бройля для четырёхвекторов

В четырёхмерном виде формулы де Бройля связывают четырёхвектор энергии-импульса $p^{\mu }$ с четырёхмерным волновым вектором и имеют вид:

$p^{\mu }={\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}=\hbar {\begin{pmatrix}\omega /c\\k_{x}\\k_{y}\\k_{z}\end{pmatrix}}.$

Энергия и импульс любого материального объекта связаны соотношением:

${\frac {E^{2}}{c^{2}}}=m^{2}c^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}.$

Аналогичным соотношением связаны частота и волновой вектор:

${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}+k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2},$

где ${\frac {mc}{\hbar }}$ — комптоновское волновое число, обратное приведенной комптоновской длине волны ${\frac {\lambda _{C}}{2\pi }}.$

Фазовая и групповая скорость волн де Бройля

Фазовая скорость волн де Бройля свободной частицы

$v_{f}={\frac {\omega }{k}}={\frac {E}{p}}={\frac {mc^{2}}{mv}}={\frac {c^{2}}{v}}\simeq {\frac {c^{2}}{h}}m\lambda ={\frac {c^{2}p^{2}}{2Wh}}\lambda .$

Последние соотношения — нерелятивистское приближение. Зависимость фазовой скорости дебройлевских волн от длины волны указывает на то, что эти волны испытывают дисперсию. Фазовая скорость $v_{f}$ волны де Бройля хотя и больше скорости света, но относится к числу величин, принципиально неспособных переносить информацию (является чисто математическим объектом).

Групповая скорость волны де Бройля $u$ равна скорости частицы $v$:

$u={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {dE}{dp}}=v$.

Иллюстрация

Иллюстрация волны де Бройля

Для частицы массой $m$, покоящейся в инерциальной системе отсчёта $x',ct'$ псевдоевклидовой плоскости 4-пространства Минковского, движущейся со скоростью $V$ относительно условно неподвижной системы $x,ct$ вдоль положительного направления оси $x$, формула квантовомеханической амплитуды вероятности обнаружить её в каком-либо месте пространства всюду одна и та же. Однако фаза — есть функция времени:

$ae^{(-i\omega _{0})t'}$,

где: $\omega _{0}={\frac {E_{0}}{\hbar }}={\frac {mc^{2}}{\hbar }}={\frac {2\pi \cdot c}{\lambda _{C}}}$;

Здесь: $\omega _{0}$ — частота изменения фазы;

$E_{0}$ — энергия покоящейся частицы;

$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ — приведённая постоянная Планка:

$c$ — скорость света;

$\lambda _{C}={\frac {h}{mc}}$ — комптоновская длина волны покоящейся частицы массой $m$.

На рисунке обозначено: $\lambda _{C}=O'A_{1}$. Линиями равных фаз в этой системе будут линии одновременности, проведённые через точки временной оси параллельно пространственной оси $x'$. Эти линии представляют собой плоскую волну, которая описывается волновой функцией

$\psi _{(x',t')}=ae^{(-i\omega _{0})t'}=ae^{(-i/\hbar )E_{0}t'}$;

На Рисунке 1 показаны только две линии равных фаз, проведённые через точки $A_{1}$ и $A_{2}$, в которых фазы амплитуды вероятности имеют то же значение, что и в точке $O'$, принятой за начальное. Для нештрихованной системы отсчёта $x,ct$ фаза амплитуды вероятности обнаружить частицу в какой-либо точке является уже функцией не только времени, но и пространства.

Линии равных фаз системы $x',ct'$ пересекают как временную, так и пространственную оси системы $x,ct$, разбивая при этом каждую из них на равные отрезки.

Фаза амплитуды вероятности является инвариантной величиной. Это означает, если в штрихованной системе в пространственно-временных точках $C_{1}$ и $B_{1}$ фаза отличается на целое число $2\pi$ относительно фазы в точке $O'$, то и в нештрихованной системе в этих точках фазы должны отличаться на то же число $2\pi$. Отсюда следует, что отрезки по осям $ct$ и $x$ представляют собой длины волн как во времени, так и в пространстве.

Согласно релятивистской концепции, применяя преобразования Лоренца, из рисунка следует:

$OC_{1}=O'A_{1}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}=cT=\lambda _{C}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}$,

где: $T$ — период изменения фазы в нештрихованной системе. Из последнего равенства этой цепочки равенств следует:

$E=\hbar \omega$,

где: $\omega$ — круговая частота изменения фазы в системе $x,ct$;

$E=mc^{2}/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}$ — полная энергия частицы в системе отсчета $x,ct$;

Здесь учтено, что скорость частицы $v$ равна скорости $V$ перемещения штрихованной системы, в которой эта частица покоится.

Из треугольника $OB_{1}C_{1}$, принимая во внимание, что $\operatorname {tg\alpha } ={\frac {V}{c}}$ и учитывая, что $v=V$, получим:

$B_{1}O={\frac {\lambda _{C}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}{\operatorname {tg\alpha } }}={\frac {h}{p}}=\lambda$,

где: $\lambda$ — длина волны де Бройля;

$p$ — импульс частицы.

Выражение для фазы амплитуды вероятности волны де Бройля в системе $x,ct$ можно получить, используя преобразование Лоренца для времени при переходе из штрихованной системы к нештрихованной:

$t'={\frac {t-(V/c^{2})x}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}}$;

Заменив $t'$ на $t$ в выражении для амплитуды в штрихованной системе отсчета, получим:

$ae^{(-i/\hbar )E_{0}t'}=ae^{-{(i/\hbar )\left[\left(E_{0}t/{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}\right)-\left(E_{0}Vx/{c^{2}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}}\right)\right]}}$;

Отождествляя полную энергию частицы $E=E_{0}/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}$ и её импульс $p=E_{0}v/c^{2}{\sqrt {1-(v/c^{2}}}$ с полученным при преобразовании выражением для фазы, учитывая, что $v=V$, формула амплитуды волны де Бройля запишется так:

$ae^{-{(i/\hbar )\left[Et-px\right]}}$;

Фазовая скорость волны, то есть скорость, с которой перемещаются точки волны с постоянной фазой (например, на Рисунке 1 перемещение одноимённой фазы из точки $B_{1}$ в точку $C_{1}$) определяется непосредственно из треугольника $OB_{1}C_{1}$:

$v_{f}={\frac {c^{2}}{v}}$;

Монохроматическая волна де Бройля перемещается в свободном пространстве с той же скоростью и в том же направлении, что и частица. Эта волна характеризуется соотношениями $\Delta x=\infty$ и $\Delta p=0$. То есть, такой волновой объект имеет вполне определённый импульс и совершенно неопределённую область локации. Именно это и содержится в утверждении, когда говорится, что существует одинаковая амплитуда вероятности обнаружить частицу во всех точках пространства.

Явление корпускулярно-волнового дуализма присуще всем видам материи, но в разной степени. Частице массой $m=10^{-5}$ г, движущейся со скоростью $v=1$ м/с, соответствует волна де Бройля с длиной волны $\lambda =6{,}6\cdot 10^{-22}$ см. Такие длины волн лежат за пределами доступной наблюдению области. Поэтому в механике макроскопических тел волновые свойства несущественны и не учитываются.

Зависимость длины волны от скорости частицы

Механизм изменения длины волны де Бройля в зависимости от изменения скорости частицы заключается в следующем.

При возрастании скорости перемещения штрихованной системы, которая является собственной для покоящейся в ней частицы, координатные оси этой системы словно лезвия ножниц, вращаясь относительно начала $O'$, поворачиваются в сторону положения биссектрисы квадранта, образованного положительными направлениями осей нештрихованной системы. Точка $A_{1}$ (Рисунок 1) пересечения временной оси $ct'$ с инвариантной (единичной) гиперболой $\lambda _{C}^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}$, которая определяет длину $\lambda _{C}$ в штрихованной системе, неограниченно приближается к биссектрисе квадранта, принимая бесконечные положительные значения координатных осей $x$ и $ct$. При этом, линия одновременности (линия равных фаз), проведенная через эту точку, стремится к положению биссектрисы, и точка $B_{1}$ пересечения этой линии с осью $x$ устремляется к началу O. То есть, при $v=V\rightarrow c$ длина волны $\lambda \rightarrow 0$, а импульс частицы $p=mv/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}\rightarrow \infty$.

При уменьшении скорости перемещения собственной системы отсчёта частицы — координатные оси этой системы опять же, словно лезвия ножниц, раздвигаются относительно положения биссектрисы квадранта. Угол $\alpha$ наклона оси $ct'$ к оси $ct$ и оси $x'$ к оси $x$ стремится к нулю. Точка $A_{1}$ пересечения единичной гиперболы с осью времени штрихованной системы приближается к точке $A$. При этом, линия равных фаз штрихованной системы, проведённая через точку $A_{1}$, стремится к параллельности с осью $x$, а точка $B_{1}$ пересечения этой линии с осью $x$ устремляется в бесконечность в сторону отрицательных значений оси $x$. Это означает, что при $v=V\rightarrow 0$ длина волны $\lambda \rightarrow \infty$, а импульс частицы $p\rightarrow 0$. В этом предельном случае фаза амплитуды вероятности будет уже функцией только времени. И параметром волны будет комптоновская длина волны $\lambda _{C}=OA$.

Подытоживая результаты обоих предельных случаев, когда произведение длины волны и импульса частицы принимает вид неопределённостей типов $(0\cdot \infty )$ и $(\infty \cdot 0)$ можно утверждать: $\lambda \cdot p=const$, что находит своё подтверждение в соотношении де Бройля: $\lambda ={\frac {h}{p}}$.

Экспериментальная проверка

Гипотеза де Бройля объясняет ряд экспериментов, необъяснимых в рамках классической физики:

• Опыт Дэвиссона — Джермера по дифракции электронов на кристаллах никеля.
• Опыт Дж. П. Томсона по дифракции электронов на металлической фольге.
• Эффект Рамзауэра аномального уменьшения сечения рассеяния электронов малых энергий атомами аргона.
• Дифракция нейтронов на кристаллах (опыты Г. Хальбана, П. Прайсверка и Д. Митчелла).

Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным. Впрочем, наблюдать квантовые эффекты можно и в макроскопическом масштабе, особенно ярким примером этому служат сверхпроводимость и сверхтекучесть.

См. также

• Волновой пакет
• Комптоновская длина волны
• Ток вероятности

Литература

• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4. — 3-е изд. — М.: Мир, 1976. — 496 с.
• www.e-libra.su/read/464761-tom-3-kvantovaya-mehanika.html# — Фейнман Ричард Филлипс. Том 3. Квантовая механика читать онлайн. Гл. 5. § 1, § 2.

Ссылки

• Волны де Бройля / лекция «Элементы квантовой механики»
• Соотношение де Бройля // «Элементы»