0,(9)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
0komo999 perspektiva.svg

0,(9) или 0,999… (, ) («ноль и девять в периоде») — периодическая десятичная дробь, представляющая число 1. Другими словами,

Существует несколько доказательств этого равенства, основанных на теории пределов.

Доказательства[править | править вики-текст]

Алгебраические доказательства[править | править вики-текст]

Деление столбиком[править | править вики-текст]

Рациональная дробь (например, ) в десятичном виде часто может быть представлена только как периодическая десятичная дробь. Выполнив деление столбиком целого числа 1 на целое число 3, получим число 0,333… (в десятичной записи), в котором цифры 3 повторяются бесконечно:

13 = 0,333…

Умножая последнее на число 3 заметим, что умножение каждой тройки на 3 даёт девятку:

0,333… × 3 = 0,999…

Заменив 0,333… на 13, получим:

13 × 3 = 0,999…;
1 = 0,999…[1].

Манипуляции с цифрами[править | править вики-текст]

При умножении десятичного числа на число 10 цифры не меняются, запятая передвигается на одну цифру вправо:

0,999… × 10 = 9,999…

Произведение 9,999… на 9 больше, чем множитель 0,999…; убедимся в этом, отняв 0,999… от 9,999…; дробная часть разности будет равна нулю, так как 9-9 = 0 для каждого разряда дробной части:

9,999… - 0,999… = 9,000… = 9.

Нахождение разности[править | править вики-текст]

Так как два числа равны, если их разность равна нулю, то равенство

1 = 0,(9)

будет верно, если разность чисел 1 и 0,(9) будет равна нулю:

1 - 0,(9) = 0.

Докажем последнее равенство. Сперва найдем разность 1 и 0,9 (первая итерация):

1 - 0,9 = 0,1.

Затем найдём разность 1 и 0,99 (вторая итерация):

1 - 0,99 = 0,11.

После чего по той же схеме определим разность 1 и 0,999 (третья итерация):

1 - 0,999 = 0,111.

И так далее.

Для каждой новой итерации значение вычитаемого будет стремиться к 0,(9), а разность — к нулю. В общем случае данную ситуацию можно записать следующим образом:

где:

  •  — номер итерации (количество девяток после запятой вычитаемого);
  •  — количество нулей между запятой и единицей разности.

Для нахождения разности 1-0,(9) положим значение номера итерации равным бесконечности:

Тогда

то есть, формально, в дробной части искомой разности имеется бесконечное количество нолей, после которых следует единица:

[2].

Если после запятой находится бесконечное множество цифр (в данном случае — нулей), то в следующий после нулей разряд невозможно вписать больше ни одной цифры, поскольку такого разряда не существует. В данном случае дробная часть разницы будет состоять из бесконечного количества нулей, а, следовательно, единицы после нулей не будет. Таким образом разность будет представлена в виде чистой периодической дроби с нулевой целой частью и периодом, состоящим из одного нуля: 0,(0), что является представлением числа 0 в виде периодической десятичной дроби:

Таким образом,

а значит

Аналитические доказательства[править | править вики-текст]

Число 0,999… в общем виде можно записать как последовательность цифр где  — цифра, стоящая в i‑ом разряде.

Бесконечные последовательности[править | править вики-текст]

В соответствии с определением десятичной системы счисления, посчитаем сумму ряда

Применив теорему о сумме сходящейся геометрической прогрессии[3]:

если то где  — радиус сходимости (знаменатель прогрессии),

получим:

Такое доказательство (об эквивалентности чисел 10 и 9,999…) было опубликовано в 1770 году Леонардом Эйлером в издании «Элементы алгебры (англ.)»[4].

Единичные интервалы, (0.3, 0.33, 0.333, …) сходящиеся к 1 (в четверичной системе счисления)

Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. В выпущенном в 1811 году учебнике «An Introduction to Algebra» также используется геометрическая прогрессия для числа 0,(9)[5]. В XIX веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение о том, что сумма ряда должна быть пределом последовательности частичных сумм[6].

Последовательность (x0, x1, x2, …) имеет предел, равный x, тогда и только тогда, когда величина бесконечна мала с ростом n. Утверждение 0.999… = 1 может быть интерпретировано как предел[7]:

Последнее преобразование () выполняется на основании того, что вещественные числа удовлетворяют аксиоме Архимеда.

Применение[править | править вики-текст]

Равенство находит применение, например, в элементарной теории чисел. В 1802 году H. Goodwin опубликовал наблюдение, обнаруженное им при делении чисел на простые числа. Например:

  • 17 = 0,142857142857… и
142 + 857 = 999;
  • 173 = 0,0136986301369863… и
0136 + 9863 = 9999.

Миди (M. E. Midy) в 1836 году обобщил данные наблюдения до теоремы Миди.

В популярной культуре[править | править вики-текст]

Автор новостной колонки «The Straight Dope» доказывает равенство 1 = 0,999… с помощью дроби 13 и пределов, говоря о непонимании:

Низший примат в нас упирается, говоря: ,999~ на самом деле представляет не число, а процесс. Чтобы найти число мы должны остановить этот процесс. И в этот момент равенство ,999~ = 1 просто разваливается.

— Чушь[8].

Вопрос о равенстве 1 = 0,999… стал такой популярной темой в первые семь лет форумов «Battle.net», что компания «Blizzard Entertainment» выпустила «пресс-релиз» на День дураков 2004 года:

Мы очень рады закрыть книгу на этой теме раз и навсегда. Мы были свидетелями страдания и беспокойства насчёт того, ,999~ равняется 1 или же нет, и мы с гордостью представляем следующее доказательство, решаюшее эту проблему для наших покупателей[9].

Далее следуют доказательства, основанные на пределах и умножении на число 10.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Сравните с the binary version of the same argument из книги Silvanus P. Thompson «Calculus made easy» (St. Martin’s Press, New York, 1998, ISBN 0-312-18548-0).
  2. Квадратные скобки указывают на формальность находящегося в них выражения. И не всегда формальное выражение будет равняться реальному. В данном случае они как раз отличаются ().
  3. Страница 61 книги Rudin (теорема 3.26); страница 706 книги J. Stewart.
  4. Страница 179 книги Эйлера.
  5. Страница 69 книги Grattan-Guinness; страница 177 книги Bonnycastle.
  6. См., например, страницу 706 книги J. Stewart, страницу 61 книги Rudin, страницу 213 книги Protter и Morrey, страницу 180 книги Pugh, страницу 31 книги J. B. Conway.
  7. The limit follows, например, со страницы 57 книги Rudin (теорема 3.20e). Иной подход описали Finney, Weir, Giordano в опубликованной в 2001 году книге «Thomas' Calculus: Early Transcendentals» (10-е издание; Addison-Wesley, New York); см. section 8.1, пример 2(a), пример 6(b).
  8. Cecil Adams. An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?. The Straight Dope. Chicago Reader (11 июля 2003). Проверено 6 сентября 2006. Архивировано 18 февраля 2012 года.
  9. Blizzard Entertainment:Press Releases