0,(9)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
0komo999 perspektiva.svg

0,(9) или 0,999… (, ) («ноль и девять в периоде») — периодическая десятичная дробь, представляющая число 1. Другими словами,

Существует несколько доказательств этого равенства, основанных на теории пределов.

Доказательства[править | править вики-текст]

Алгебраические доказательства[править | править вики-текст]

Деление столбиком[править | править вики-текст]

Рациональная дробь (например, ) в десятичном виде часто может быть представлена только как периодическая десятичная дробь. Выполнив деление столбиком целого числа 1 на целое число 3, получим число 0,333… (в десятичной записи), в котором цифры 3 повторяются бесконечно:

13 = 0,333…

Умножая последнее на число 3 заметим, что умножение каждой тройки на 3 даёт девятку:

0,333… × 3 = 0,999…

Заменив 0,333… на 13, получим:

13 × 3 = 0,999…;
1 = 0,999…[1].

Манипуляции с цифрами[править | править вики-текст]

При умножении десятичного числа на число 10 цифры не меняются, запятая передвигается на одну цифру вправо:

0,999… × 10 = 9,999…

Произведение 9,999… на 9 больше, чем множитель 0,999…; убедимся в этом, отняв 0,999… от 9,999…; дробная часть разности будет равна нулю, так как 9-9 = 0 для каждого разряда дробной части:

9,999… - 0,999… = 9,000… = 9.

Нахождение разности[править | править вики-текст]

Так как два числа равны, если их разность равна нулю, то равенство

1 = 0,(9)

будет верно, если разность чисел 1 и 0,(9) будет равна нулю:

1 - 0,(9) = 0.

Докажем последнее равенство. Сперва найдем разность 1 и 0,9 (первая итерация):

1 - 0,9 = 0,1.

Затем найдём разность 1 и 0,99 (вторая итерация):

1 - 0,99 = 0,01.

После чего по той же схеме определим разность 1 и 0,999 (третья итерация):

1 - 0,999 = 0,001.

И так далее.

Для каждой новой итерации значение вычитаемого будет стремиться к 0,(9), а разность — к нулю. В общем случае данную ситуацию можно записать следующим образом:

где:

  •  — номер итерации (количество девяток после запятой вычитаемого);
  •  — количество нулей между запятой и единицей разности.

Для нахождения разности 1-0,(9) положим значение номера итерации равным бесконечности:

Тогда

то есть, формально, в дробной части искомой разности имеется бесконечное количество нолей, после которых следует единица:

[2].

Если после запятой находится бесконечное множество цифр (в данном случае — нулей), то в следующий после нулей разряд невозможно вписать больше ни одной цифры, поскольку такого разряда не существует. В данном случае дробная часть разницы будет состоять из бесконечного количества нулей, а, следовательно, единицы после нулей не будет.

Стоит отметить, что если рассматривать множество гиперреальных чисел, то единицу после бесконечности нулей можно считать бесконечно малым числом, однако так как мы рассматриваем вещественные числа, то в таких случаях, например в нестандартном анализе, используют функцию, округляющую до ближайшего вещественного, меньшего по модулю[источник не указан 50 дней].

Таким образом разность будет представлена в виде чистой периодической дроби с нулевой целой частью и периодом, состоящим из одного нуля: 0,(0), что является представлением числа 0 в виде периодической десятичной дроби:

Таким образом,

а значит

Аналитические доказательства[править | править вики-текст]

Число 0,999… в общем виде можно записать как последовательность цифр где  — цифра, стоящая в i‑ом разряде.

Бесконечные последовательности[править | править вики-текст]

В соответствии с определением десятичной системы счисления, посчитаем сумму ряда

Применив теорему о сумме сходящейся геометрической прогрессии[3]:

если то где  — радиус сходимости (знаменатель прогрессии),

получим:

Такое доказательство (об эквивалентности чисел 10 и 9,999…) было опубликовано в 1770 году Леонардом Эйлером в издании «Элементы алгебры (англ.)»[4].

Единичные интервалы, (0.3, 0.33, 0.333, …) сходящиеся к 1 (в четверичной системе счисления)

Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. В выпущенном в 1811 году учебнике «An Introduction to Algebra» также используется геометрическая прогрессия для числа 0,(9)[5]. В XIX веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение о том, что сумма ряда должна быть пределом последовательности частичных сумм[6].

Последовательность (x0, x1, x2, …) имеет предел, равный x, тогда и только тогда, когда величина бесконечна мала с ростом n. Утверждение 0.999… = 1 может быть интерпретировано как предел[7]:

Последнее преобразование () выполняется на основании того, что вещественные числа удовлетворяют аксиоме Архимеда.

Применение[править | править вики-текст]

Равенство находит применение, например, в элементарной теории чисел. В 1802 году H. Goodwin опубликовал наблюдение, обнаруженное им при делении чисел на простые числа. Например:

  • 17 = 0,142857142857… и
142 + 857 = 999;
  • 173 = 0,0136986301369863… и
0136 + 9863 = 9999.

Миди (M. E. Midy) в 1836 году обобщил данные наблюдения до теоремы Миди.

В популярной культуре[править | править вики-текст]

Автор новостной колонки «The Straight Dope» доказывает равенство 1 = 0,999… с помощью дроби 13 и пределов, говоря о непонимании:

Низший примат в нас упирается, говоря: ,999~ на самом деле представляет не число, а процесс. Чтобы найти число мы должны остановить этот процесс. И в этот момент равенство ,999~ = 1 просто разваливается.

— Чушь[8].

Вопрос о равенстве 1 = 0,999… стал такой популярной темой в первые семь лет форумов «Battle.net», что компания «Blizzard Entertainment» выпустила «пресс-релиз» на День дураков 2004 года:

Мы очень рады закрыть книгу на этой теме раз и навсегда. Мы были свидетелями страдания и беспокойства насчёт того, ,999~ равняется 1 или же нет, и мы с гордостью представляем следующее доказательство, решаюшее эту проблему для наших покупателей[9].

Далее следуют доказательства, основанные на пределах и умножении на число 10.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Сравните с the binary version of the same argument из книги Silvanus P. Thompson «Calculus made easy» (St. Martin’s Press, New York, 1998, ISBN 0-312-18548-0).
  2. Квадратные скобки указывают на формальность находящегося в них выражения. И не всегда формальное выражение будет равняться реальному. В данном случае они как раз отличаются ().
  3. Страница 61 книги Rudin (теорема 3.26); страница 706 книги J. Stewart.
  4. Страница 179 книги Эйлера.
  5. Страница 69 книги Grattan-Guinness; страница 177 книги Bonnycastle.
  6. См., например, страницу 706 книги J. Stewart, страницу 61 книги Rudin, страницу 213 книги Protter и Morrey, страницу 180 книги Pugh, страницу 31 книги J. B. Conway.
  7. The limit follows, например, со страницы 57 книги Rudin (теорема 3.20e). Иной подход описали Finney, Weir, Giordano в опубликованной в 2001 году книге «Thomas' Calculus: Early Transcendentals» (10-е издание; Addison-Wesley, New York); см. section 8.1, пример 2(a), пример 6(b).
  8. Cecil Adams. An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?. The Straight Dope. Chicago Reader (11 июля 2003). Проверено 6 сентября 2006. Архивировано 18 февраля 2012 года.
  9. Blizzard Entertainment:Press Releases