Разложение Энгеля
Разложение Энгеля положительного вещественного числа x — это единственная неубывающая последовательность положительных натуральных чисел , таких что
Рациональные числа имеют конечное разложение Энгеля, а иррациональные числа имеют разложение в бесконечный ряд. Если x рационально, его разложение Энгеля даёт представление x в виде египетской дроби. Разложение названо именем математика Фридриха Энгеля, изучавшего его в 1913 году.
Разложение, аналогичное разложению Энгеля, но с попеременным знаком членов называется разложением Пирса.
Разложение Энгеля, непрерывные дроби и Фибоначчи
Краайкамп и Ву[1] заметили, что разложение Энгеля можно записать в виде восходящего варианта непрерывной дроби:
Они утверждают, что восходящие непрерывные дроби, подобные этой, изучались ещё во времена книги абака Фибоначчи (1202). Это утверждение ссылается на нотацию сложных дробей Фибоначчи, в которых последовательность числителей и знаменателей, использующие одну общую черту, представляют восходящую непрерывную дробь:
Если в этой нотации все числители равны 0 или 1, как появляется в некоторых местах в книге абака, результатом будет разложение Энгеля. Однако разложение Энгеля как техника в книге не описано.
Алгоритм для вычисления разложений Энгеля
Чтобы найти разложение Энгеля для x, положим
и
- ,
где — потолок (наименьшее целое, не меньшее r).
Если для некоторого i, останавливаем алгоритм.
Пример
Чтобы найти разложение Энгеля для числа 1,175, осуществим следующие шаги.
Последовательность закончилась. Таким образом,
и разложение Энгеля для 1,175 равно {1, 6, 20}.
Разложение Энгеля рациональных чисел
Любое положительное рациональное число имеет единственное конечное разложение Энгеля. В алгоритме разложения Энгеля, если ui является рациональным числом x/y, то ui+1 = (−y mod x)/y. Таким образом, каждый шаг уменьшает числитель в остаточной дроби ui и процесс построения разложения Энгеля должен прекратиться за конечное число шагов. Любое рациональное число также имеет единственное бесконечное разложение Энгеля: используя равенство
последнее число n в конечном разложении Энгеля можно заменить бесконечной последовательностью (n + 1) без изменения значения. Например,
Это аналогично факту, что любое рациональное число с конечным десятичным представлением имеет бесконечное десятичное представление (см. 0,(9)). Бесконечное разложение Энгеля, в котором все элементы равны, это геометрическая прогрессия.
Эрдёш, Реньи и Сюс (Szüsz) задавали вопрос о нетривиальных границах длины конечного разложения Энгеля рациональной дроби x/y. На этот вопрос ответили Эрдёш и Шаллит[англ.] доказав, что число членов разложения равно O(y1/3 + ε) для любого ε > 0[2][3].
Разложение Энгеля для некоторых хорошо известных констант
Другие разложения Энгеля можно найти здесь.
Скорость роста элементов разложения
Коэффициенты ai разложения Энгеля, как правило, имеют экспоненциальный рост. Точнее, для почти всех чисел в интервале (0,1] предел существует и равен e. Однако подмножество интервала, для которого это не выполняется, достаточно велико, так что его размерность Хаусдорфа равна единице[4].
Тот же типичный рост наблюдается у членов, генерируемых жадным алгоритмом для египетских дробей. Однако множество вещественных чисел в интервале (0,1], разложение Энгеля которых совпадает с их разложением жадным алгоритмом, имеет меру ноль и Хаусдорфову размерность 1/2[5].
Примечания
- ↑ Kraaikamp, Wu, 2004.
- ↑ Erdős, Rényi, Szüsz, 1958.
- ↑ Erdős, Shallit, 1991.
- ↑ Wu, 2000, По утверждению Ву, результат о равенстве предела e для почти всех чисел принадлежит Яношу Галамбосу (Janos Galambos).
- ↑ Wu, 2003.
Литература
- F. Engel. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg. — 1913. — С. 190—191.
- T. A. Pierce. On an algorithm and its use in approximating roots of algebraic equations // Am. Math. Monthly. — 1929. — Т. 36, № 10. — С. 523—525. — .
- Paul Erdős, Alfréd Rényi, Peter Szüsz. On Engel's and Sylvester's series // Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math.. — 1958. — Т. 1. — С. 7—32.
- Paul Erdős, Jeffrey Shallit. New bounds on the length of finite Pierce and Engel series // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. — 1991. — Т. 3, вып. 1. — С. 43—53. — doi:10.5802/jtnb.41.
- J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni. Approximation to quadratic irrationals and their Pierce expansions // Fib. Quart.. — 1998. — Т. 36, № 2. — С. 146—153.
- Cor Kraaikamp, Jun Wu. On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients // Monatshefte für Mathematik. — 2004. — Т. 143, вып. 4. — С. 285—298. — doi:10.1007/s00605-004-0246-3.
- Jun Wu. A problem of Galambos on Engel expansions // Acta Arithmetica. — 2000. — Т. 92, вып. 4. — С. 383—386.
- Jun Wu. How many points have the same Engel and Sylvester expansions? // Journal of Number Theory. — 2003. — Т. 103, вып. 1. — С. 16—26. — doi:10.1016/S0022-314X(03)00017-9.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Engel Expansion . MathWorld–A Wolfram Web Resource.
Для улучшения этой статьи желательно:
|