Теоре́ма Слу́цкого связывает сходимость по мере и слабую сходимость случайных величин.
Названа в честь Евгения Евгеньевича Слуцкого .
Пусть дано вероятностное пространство
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
X
n
,
Y
m
:
Ω
→
R
,
n
,
m
∈
N
{\displaystyle X_{n},Y_{m}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,n,m\in \mathbb {N} }
случайные величины . Тогда если
X
n
→
D
X
{\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}
где
X
:
Ω
→
R
{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }
Y
m
→
P
c
{\displaystyle Y_{m}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }c}
где
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
X
n
+
Y
n
→
D
X
+
c
{\displaystyle X_{n}+Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X+c}
и
X
n
⋅
Y
n
→
D
c
⋅
X
{\displaystyle X_{n}\cdot Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}c\cdot X}
Пусть в предположениях классической теоремы имеется непрерывная функция
f
:
R
2
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
f
(
X
n
,
Y
n
)
→
D
f
(
X
,
c
)
{\displaystyle f(X_{n},Y_{n})\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}f(X,c)}
