Композиция функций

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций $F$ и $G$ обычно обозначается $G\circ F$, что обозначает применение функции $G$ к результату функции $F$, то есть $(G\circ F)(x)=G(F(x))$.

Определение

Пусть даны две функции $F\colon X\to Y$ и ${\textstyle G\colon F[X]\to Z,}$ где $F[X]\subseteq Y$ — образ множества $X.$ Тогда их композицией называется функция $G\circ F\colon X\to Z$, определённая равенством:

$(G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.$

Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, каждая из каких имеет один аргумент. Также он может употребляться в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например, сложной функцией нескольких переменных можно назвать функцию $G$ вида

  $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$

потому что она представляет собой функцию $F$, на вход которой подаются результаты функций $u$ и $v$.

Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

  $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$

• Если $F=\mathrm {id} _{X}$ — тождественное отображение на $X$, то есть

  $F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,$

то $G\circ F=G.$

• Если $G=\mathrm {id} _{Y}$ — тождественное отображение на $Y$, то есть

  $G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y,$

то $G\circ F=F.$

• Композиция отображений $F\colon X\to X$, $G\colon X\to X$, вообще говоря, не коммутативна, то есть $F\circ G\not =G\circ F.$ Например, даны функции $F\colon x\mapsto x^{2},~G\colon x\mapsto 2x$ — тогда $G\circ F\colon x\mapsto 2x^{2},$ однако $F\circ G\colon x\mapsto 4x^{2}.$

Дополнительные свойства

• Пусть функция $f\colon X\to Y$ имеет в точке $a$ предел $\lim _{x\to a}f(x)=b$, а функция $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ имеет в точке $b$ предел $\lim _{y\to b}g(y)$. Тогда, если существует проколотая окрестность точки $a$, пересечение которой с множеством $X$ отображается функцией $f\colon X\to Y$ в проколотую окрестность точки $b$, то в точке $a$ существует предел композиции функций $g\circ f\colon X\to Z$ и выполнено равенство: $\lim _{x\to a}g(f(x))=\lim _{y\to b}g(y).$
• Если функция $f\colon X\to Y$ имеет в точке $a$ предел $\lim _{x\to a}f(x)=b$, а функция $g\colon f(X)\subseteq Y\to Z$ непрерывна в точке $b$, то в точке $a$ существует предел композиции функций $g\circ f\colon X\to Z$ и выполнено равенство: $\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).$
• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ — топологические пространства. Пусть $f\colon X\to Y$ и $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ — две функции, $y_{0}=f(x_{0})$, $f\in C(x_{0})$ и $g\in C(y_{0}),$ где $C$ — это множество всех функций, первая производная которых в заданной точке существует. Тогда $g\circ f\in C(x_{0})$.

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $y_{0}=f(x_{0})$, $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ и $g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$. Тогда $g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$, и

$(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})$.

Литература

• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0487-Х.