Ассоциативная операция

Ассоциати́вная опера́ция — это бинарная операция $\circ$, обладающая ассоциативностью (лат. associatio — соединение), или сочетательностью:

$(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)$ для любых элементов $x,\;y,\;z$.

Для ассоциативной операции результат вычисления $x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n$ при $n>2$ в общем случае не определено.

Примерами ассоциативных операций являются:

• сложение действительных чисел:

$( a + b ) + c = a + ( b + c )$

• умножение действительных чисел:

$( a * b ) * c = a * ( b * c )$

• композиция функций:

$( H \circ G ) \circ F = H \circ ( G \circ F )$

По определению группы и поля умножение в группе, сложение и умножение в поле являются ассоциативными операциями. Множество с введённой на нём внутренней ассоциативной бинарной операцией называется полугруппой.

История

Термин «ассоциативность» ввёл Гамильтон в 1853 году .

См. также

• Коммутативная операция
• Дистрибутивность
• Степенная ассоциативность