Ассоциативность (математика)

Визуализация ассоциативности $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$

Ассоциати́вность (сочетательность) — свойство бинарной операции $\circ$, заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ в произвольном порядке к элементам $x,\;y,\;z$.

Термин ввёл Уильям Гамильтон в 1853 году.

Поскольку для ассоциативных операций результат выражения $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ не зависит от порядка применения, скобки при записи опускаются. Для неассоциативной операции выражение $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ при $n>2$ не определено без дополнительных соглашений о порядке применения.

Примеры ассоциативных операций:

• сложение комплексных чисел: $(a+b)+c=a+(b+c)$
• умножение комплексных чисел: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• композиция функций: $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)$

Примером неассоциативной операции является возведение в степень — результат выражения $a^{b^{c}}$ напрямую зависит от расстановки скобок, в общем случае $a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}$.

Не всякая коммутативная операция ассоциативна — существуют коммутативные магмы с неассоциативной.

Ассоциативность играет важную роль в общей алгебре: в большинстве рассматриваемых структур бинарные операции ассоциативны (группы, кольца, поля, полурешётки и решётки). Теория полугрупп фактически исследует феномен ассоциативности общеалгебраическими методами. При этом особо рассматриваются и неассоциативные системы, а именно: квазигруппы, лупы, неассоциативные кольца, неассоциативные алгебры. Их изучение осложнено тем, что многие свойства ассоциативных систем для них не имеют места. Иногда проблемы переносимости свойств на неассоциативные структуры оказываются нетрививиальными (например, открыт вопрос о выполнении теоремы Лагранжа для конечных луп).

В информатике ассоциативность считается полезным свойством, в частности, позволяющим задействовать параллелизм для последовательных применений операции. В то же время многие практические операции (сложение и умножение при работе с числами с плавающей запятой) оказываются неассоциативными.

Свойство естественным образом обобщается на $n$-арный случай: операция $\varphi \colon X^{n}\to X$ называется ассоциативной, если для всех $i=1,\dots ,n$ имеет место тождество:

$\varphi (\varphi (x_{1},\dots ,x_{n}),x_{n+1},\dots ,x_{2n-1})=\varphi (x_{1},\dots ,x_{i},\varphi (x_{i+1},x_{i+2},\dots ,x_{i+n}),x_{i+n+1},\dots ,x_{2n-1})$.

Ослабленные варианты свойства ассоциативности — степенная ассоциативность, альтернативность, эластичность — в них изменение очерёдности последовательного применения возможно только для ограниченного набора случаев.

Литература

• Ассоциативность — статья из Математической энциклопедии. О. А. Иванова, Д. М. Смирнов
• Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.