Ассоциативность (математика)
Ассоциати́вность (сочетательность) — свойство бинарной операции , заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы в произвольном порядке к элементам .
Термин ввёл Уильям Гамильтон в 1853 году.
Поскольку для ассоциативных операций результат выражения не зависит от порядка применения, скобки при записи опускаются. Для неассоциативной операции выражение при не определено без дополнительных соглашений о порядке применения.
Примеры ассоциативных операций:
Примером неассоциативной операции является возведение в степень — результат выражения напрямую зависит от расстановки скобок, в общем случае .
Не всякая коммутативная операция ассоциативна — существуют коммутативные магмы[англ.] с неассоциативной.
Ассоциативность играет важную роль в общей алгебре: в большинстве рассматриваемых структур бинарные операции ассоциативны (группы, кольца, поля, полурешётки и решётки). Теория полугрупп фактически исследует феномен ассоциативности общеалгебраическими методами. При этом особо рассматриваются и неассоциативные системы, а именно: квазигруппы, лупы, неассоциативные кольца, неассоциативные алгебры[англ.]. Их изучение осложнено тем, что многие свойства ассоциативных систем для них не имеют места. Иногда проблемы переносимости свойств на неассоциативные структуры оказываются нетрививиальными (например, открыт вопрос о выполнении теоремы Лагранжа для конечных луп).
В информатике ассоциативность считается полезным свойством, в частности, позволяющим задействовать параллелизм для последовательных применений операции. В то же время многие практические операции (сложение и умножение при работе с числами с плавающей запятой) оказываются неассоциативными.
Свойство естественным образом обобщается на -арный случай: операция называется ассоциативной, если для всех имеет место тождество:
- .
Ослабленные варианты свойства ассоциативности — степенная ассоциативность, альтернативность, эластичность[англ.] — в них изменение очерёдности последовательного применения возможно только для ограниченного набора случаев.
Литература
[править | править код]- Ассоциативность — статья из Математической энциклопедии. О. А. Иванова, Д. М. Смирнов
- Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.