Ассоциативная операция

Эта статья — об ассоциативности в математике. Об ассоциативности операций в языках программирования см. Очерёдность операций.

Ассоциати́вная опера́ция — это бинарная операция $\circ$, обладающая ассоциативностью (лат. associatio — соединение), или сочетательностью:

$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ для любых элементов $x,\;y,\;z$.

Для ассоциативной операции результат вычисления $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ при $n>2$ в общем случае не определено.

Примеры

Примерами ассоциативных операций являются:

• сложение действительных чисел:

$(a+b)+c=a+(b+c)$

• умножение действительных чисел:

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

• композиция функций:

$(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)$

Примером неассоциативной операции является возведение в степень. Результат выражения $a^{b^{c}}$ зависит от расстановки скобок: в общем случае $a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}$.

По определению группы и поля умножение в группе, сложение и умножение в поле являются ассоциативными операциями. Множество (непустое) с введённой на нём внутренней ассоциативной бинарной операцией называется полугруппой.

История

Термин «ассоциативность» ввёл Гамильтон в 1853 году .

См. также

• Коммутативная операция
• Дистрибутивность
• Степенная ассоциативность