Ассоциативность (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Ассоциативная операция»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Визуализация ассоциативности

Ассоциати́вность (сочетательность) — свойство бинарной операции , заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы в произвольном порядке к элементам .

Термин ввёл Уильям Гамильтон в 1853 году.

Поскольку для ассоциативных операций результат выражения не зависит от порядка применения, скобки при записи опускаются. Для неассоциативной операции выражение при не определено без дополнительных соглашений о порядке применения.

Примеры ассоциативных операций:

Примером неассоциативной операции является возведение в степень — результат выражения напрямую зависит от расстановки скобок, в общем случае .

Не всякая коммутативная операция ассоциативна — существуют коммутативные магмы[en] с неассоциативной.

Ассоциативность играет важную роль в общей алгебре: в большинстве рассматриваемых структур бинарные операции ассоциативны (группы, кольца, поля, полурешётки и решётки). Теория полугрупп фактически исследует феномен ассоциативности общеалгебраическими методами. При этом особо рассматриваются и неассоциативные системы, а именно: квазигруппы, лупы, неассоциативные кольца, неассоциативные алгебры[en]. Их изучение осложнено тем, что многие свойства ассоциативных систем для них не имеют места. Иногда проблемы переносимости свойств на неассоциативные структуры оказываются нетрививиальными (например, открыт вопрос о выполнении теоремы Лагранжа для конечных луп).

В информатике ассоциативность считается полезным свойством, в частности, позволяющим задействовать параллелизм для последовательных применений операции. В то же время, многие практические операции (сложение и умножение при работе с числами с плавающей запятой) оказываются неассоциативными.

Свойство естественным образом обобщается на -арный случай: операция называется ассоциативной, если для всех имеет место тождество:

.

Ослабленные варианты свойства ассоциативности — степенная ассоциативность, альтернативность, эластичность[en] — в них изменение очерёдности последовательного применения возможно только для ограниченного набора случаев.

Литература[править | править код]