Тихоновский куб

Тихоновский куб в общей топологии — единичный куб в $m$-мерном пространстве, где $m$ — произвольное бесконечное кардинальное число, называемое весом куба (оно равно весу тихоновского куба как топологического пространства), то есть, $m$-кратное прямое произведение (с топологией произведения) единичного отрезка $\prod _{s\in S}[0,1]=I^{m}$, где $|S|=m,I=[0,1]$. Введён в 1929 году Андреем Николаевичем Тихоновым.

Примеры

• Гильбертов кирпич — тихоновский куб счётного веса.

Свойства

Тихоновский куб $I^{m}$ - универсальное пространство для всех тихоновских пространств и компактных хаусдорфовых пространств веса не больше $m$.

По теореме Тихонова тихоновский куб любого веса компактен.

Если $n\leqslant m$, то куб $I^{n}$ вкладывается в $I^{m}$.

Число Суслина для любого тихоновского куба счётно, вне зависимости от его веса.

Литература

• Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 137—139. — 752 с.
• Тихоновский куб — статья из Математической энциклопедии. Архангельский А. В.