Гильбертов кирпич

Гильбертов кирпич (гильбертов куб) — топологическое пространство, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков $[0,1]$ (с топологией произведения).

Свойства

• По теореме Тихонова гильбертов кирпич компактен.
• Гильбертов кирпич является метризуемым, так как он гомеоморфен следующему подмножеству гильбертова пространства $\ell^2$:

  $\left[0, 1\right] \times \left[0, \tfrac12 \right] \times \left[0, \tfrac13 \right] \times \dots$,

то есть точками гильбертова кирпича являются бесконечные последовательности $\{x_n\}$ гильбертова пространства $\ell^2$, такие, что

$0 \leqslant x_n \leqslant \frac 1 {n}$.

• Гильбертов кирпич, вложенный в гильбертово пространство, имеет пустую внутренность, то есть он не содержит непустых открытых подмножеств.
• Гильбертов кирпич универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств.

См. также

• Единичный куб
• Тихоновский куб