Гильбертов кирпич

Гильбертов кирпич (гильбертов куб) — топологическое пространство, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков $[0,1]$$[0,1]$ (с топологией произведения).

Свойства

• По теореме Тихонова гильбертов кирпич компактен.
• Гильбертов кирпич является метризуемым, так как он гомеоморфен следующему подмножеству гильбертова пространства $\ell ^{2}$$\ell ^{2}$:

  $\left[0,1\right]\times \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\times \left[0,{\tfrac {1}{3}}\right]\times \dots$$\left[0,1\right]\times \left[0,{\tfrac 12}\right]\times \left[0,{\tfrac 13}\right]\times \dots$,

то есть точками гильбертова кирпича являются бесконечные последовательности $\{x_{n}\}$$\{x_n\}$ гильбертова пространства $\ell ^{2}$$\ell ^{2}$, такие, что

$0\leqslant x_{n}\leqslant {\frac {1}{n}}$$0\leqslant x_{n}\leqslant {\frac 1{n}}$.

• Гильбертов кирпич, вложенный в гильбертово пространство, имеет пустую внутренность, то есть он не содержит непустых открытых подмножеств.
• Гильбертов кирпич универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств.

См. также

• Единичный куб
• Тихоновский куб