Это старая версия этой страницы, сохранённая Medvednikita(обсуждение | вклад) в 09:04, 22 ноября 2021(→Определение: вернул примечание в конец предложения; добавил пробел). Она может серьёзно отличаться от текущей версии.
Эту страницу предлагается объединить со страницей Матрица Якоби.
Пояснение причин и обсуждение — на странице Википедия:К объединению/7 мая 2020. Обсуждение длится не менее недели (подробнее). Не удаляйте шаблон до подведения итога обсуждения.
Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.
Якобиан отображения в точке обычно обозначается , иногда также следующим образом:
,или
Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель.[источник не указан 5328 дней] По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю[1].
Якобиан векторной функции, имеющей в некоторой точке все частные производные первого порядка, определяется как
Также можно говорить об определителе Якоби или якобиане системы функций .
Геометрическая интерпретация
Если функции определяют преобразование координат , то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов[2] параллелепипедов, «натянутых» на и на при равенстве произведений .
Применение
Якобиан часто применяется при анализе неявных функций.
Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат преобразуется как
Пример 1. Переход элементарной площади от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):
Матрица Якоби имеет следующий вид
А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:
Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:
Пример 2. Переход элементарного объёма от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :
Матрица Якоби имеет следующий вид
А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:
Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:
Свойства
Абсолютное значение Якобиана в некоторой точке равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
Якобиан в точке положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
Если Якобиан отображения не обращается в нуль в области , то отображение является локальным диффеоморфизмом.