Теорема Жордана

Простая замкнутая кривая (чёрного цвета) делит плоскость на внутреннюю часть (голубого цвета) и внешнюю часть (розового цвета).

Не следует путать с леммой Жордана.

Теорема Жордана — классическая теорема топологии, известная благодаря простоте формулировки и чрезвычайной сложности доказательства.

Формулировка

Простая (то есть не имеющая самопересечений) плоская замкнутая кривая $\gamma$ разбивает плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ на две связные компоненты и является их общей границей.

Замечания

Из двух связных компонент одна $B$ (внутренность $\gamma$) — ограниченная; характеризуется тем, что степень $\gamma$ относительно любой точки в $B$ равна $\pm 1$; другая $S$ (внешность $\gamma$) — неограниченная, и степень $\gamma$ относительно любой точки в $S$ равна нулю. По теореме Шёнфлиса, первая всегда гомеоморфна диску.

История

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.

Часто утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году. Однако Томас Хейлс пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае, когда замкнутая кривая является многоугольником.

О доказательствах

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

• Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил Айзик Исаакович Вольперт.
• Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем.

Вариации и обобщения

• Теорема Жордана обобщается по размерности:

Любое $(n-1)$-мерное подмногообразие в $\mathbb {R} ^{n}$, гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.

При $n=3$ это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего $n$-мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.

• Более того, любое компактное связное $(n-1)$-мерное подмногообразие в $\mathbb {R} ^{n}$ разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. Доказательство получается применением двойственности Александера.

• Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
  • В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
  • Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.

См. также

• Жорданова кривая
• Озёра Вады — патологический пример, показывающий нетривиальность теоремы Жордана.

Литература

• Аносов Д. В. Отображения окружности, векторные поля и их применения. — М.: изд-во МЦНМО, 2003.
• Филиппов А. Ф. Элементарное доказательство теоремы Жордана. — УМН, 5:5(39) (1950), 173—176.
• Jordan С. Cours d’analyse, t. I, P., 1893.
• Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. — пер. с франц., т. 2, Л.-М., 1933.
• Александров П. С. Комбинаторная топология. — М.-Л., 1947.
• Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — пер. с англ., М.: 1964.
• Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
• Прасолов В. В. Теорема Жордана. — Матем. образование, апрель-сентябрь 1999, 95—101.