Редко используемые тригонометрические функции — функции угла, которые в настоящее время используются редко по сравнению с шестью основными тригонометрическими функциями (синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом). К ним относятся:
Определение тригонометрических функций через окружность. Отрезки CD и DE описывают соответственно версинус и эксеканс.
Графики функций versin , vercos , haversin , havercos , exsec , excsc
Синус-верзус (другие написания: версинус , синус версус , называется также «стрелка дуги» ). Определяется как
versin
ϑ
=
1
−
cos
ϑ
=
2
sin
2
ϑ
2
.
{\displaystyle \operatorname {versin} \,\vartheta =1-\cos \vartheta =2\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}
Представляет собой расстояние от центральной точки дуги, измеряемой удвоенным данным углом, до центральной точки хорды, стягивающей дугу. Иногда используются обозначения
vers
ϑ
,
sin
vers
ϑ
.
{\displaystyle \operatorname {vers} \,\vartheta ,\quad \sin \,\operatorname {vers} \,\vartheta .}
Косинус-верзус (другие написания: коверсинус , косинус версус ). Определяется как
vercos
ϑ
=
versin
(
π
2
−
ϑ
)
=
1
−
sin
ϑ
.
{\displaystyle \operatorname {vercos} \,\vartheta =\operatorname {versin} \,\left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta \right)=1-\sin \vartheta .}
Иногда используются обозначения
cvs
ϑ
,
cos
vers
ϑ
.
{\displaystyle \operatorname {cvs} \,\vartheta ,\quad \cos \,\operatorname {vers} \,\vartheta .}
Гаверсинус (лат. haversinus , сокращение от half the versed sine ). Определяется как
haversin
ϑ
=
versin
ϑ
2
=
sin
2
ϑ
2
.
{\displaystyle \operatorname {haversin} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {versin} \,\vartheta }{2}}=\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}
Используется также обозначение
hav
ϑ
.
{\displaystyle \operatorname {hav} \,\vartheta .}
Гаверкосинус (лат. havercosinus , сокращение от half the versed cosine ). Определяется как
havercos
ϑ
=
vercos
ϑ
2
=
cos
2
ϑ
2
.
{\displaystyle \operatorname {havercos} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {vercos} \,\vartheta }{2}}=\cos ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}
Используется также обозначение
hac
ϑ
.
{\displaystyle \operatorname {hac} \,\vartheta .}
Эксеканс (лат. exsecant ) или экссеканс . Определяется как
exsec
ϑ
=
sec
ϑ
−
1.
{\displaystyle \operatorname {exsec} \,\vartheta =\sec \vartheta -1.}
Экскосеканс — дополнительная функция к эксекансу:
excsc
ϑ
=
exsec
(
π
2
−
ϑ
)
=
cosec
ϑ
−
1.
{\displaystyle \operatorname {excsc} \,\vartheta =\operatorname {exsec} \,\left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta \right)=\operatorname {cosec} \,\vartheta -1.}
Использование
Версинус, коверсинус и гаверсинус были удобны для ручных расчётов с использованием логарифмов, поскольку они всюду неотрицательны, однако в связи с развитием вычислительных средств эта область применения неактуальна. В настоящее время эти функции используются для описания соответствующих сигналов в электронике (например, в функциональных генераторах). Гаверсинус также используется в навигационных расчётах для избежания ошибок округления в вычислительных системах с ограниченной разрядностью.
Синус-верзус
Определение
Синус-верзус определён через синус и косинус как
versin
ϑ
=
1
−
cos
ϑ
=
2
sin
2
(
ϑ
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {versin} \,\vartheta =1-\cos \vartheta =2\sin ^{2}\left({\frac {\vartheta }{2}}\right).}
Синус-верзус вместе с косинусом составляет радиус окружности.
Свойства
Версинус — периодическая функция с периодом
2
π
{\displaystyle 2\pi }
. Версинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.
versin
{\displaystyle \operatorname {versin} }
можно использовать в плоскости комплексных чисел.
d
d
z
versin
z
=
sin
z
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {versin} \ z=\operatorname {sin} \ z}
∫
versin
z
d
z
=
z
−
sin
z
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {versin} \,z\,dz=z-\sin z+C}
Косинус-верзус
Определение
Косинус-верзус определён через версинус и синус как
vercos
ϑ
=
versin
(
π
2
−
ϑ
)
=
1
−
sin
ϑ
.
{\displaystyle \operatorname {vercos} \,\vartheta =\operatorname {versin} \,\left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta \right)=1-\sin \vartheta .}
Свойства
Веркосинус — периодическая функция с периодом
2
π
{\displaystyle 2\pi }
. Веркосинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.
vercos
{\displaystyle \operatorname {vercos} }
можно использовать в плоскости комплексных чисел.
d
d
z
vercos
z
=
−
cos
z
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {vercos} \ z=-\operatorname {cos} \ z}
∫
vercos
z
d
z
=
z
+
cos
z
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {vercos} \,z\,dz=z+\cos z+C}
Гаверсинус
Определение
Гаверсинус определён через верзус-синус и синус как
haversin
ϑ
=
versin
ϑ
2
=
sin
2
ϑ
2
.
{\displaystyle \operatorname {haversin} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {versin} \,\vartheta }{2}}=\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}
Свойства
Гаверсинус — периодическая функция с периодом
2
π
{\displaystyle 2\pi }
. Гаверсинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.
haversin
{\displaystyle \operatorname {haversin} }
можно использовать в плоскости комплексных чисел.
d
d
z
haversin
z
=
sin
z
2
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {haversin} \ z={\frac {\operatorname {sin} \ z}{2}}}
∫
haversin
z
d
z
=
−
sin
z
2
+
z
2
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {haversin} \,z\,dz=-{\frac {\operatorname {sin} \ z}{2}}+{\frac {z}{2}}+C}
Гаверкосинус
Определение
Гаверкосинус определён через верзус-косинус и косинус как
havercos
ϑ
=
vercos
ϑ
2
=
cos
2
ϑ
2
.
{\displaystyle \operatorname {havercos} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {vercos} \,\vartheta }{2}}=\cos ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}
Свойства
Гаверкосинус — периодическая функция с периодом
2
π
{\displaystyle 2\pi }
. Гаверкосинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.
havercos
{\displaystyle \operatorname {havercos} }
можно использовать в плоскости комплексных чисел.
d
d
z
havercos
z
=
−
cos
z
2
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {havercos} \ z=-{\frac {\operatorname {cos} \ z}{2}}}
∫
havercos
z
d
z
=
cos
z
2
+
z
2
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {havercos} \,z\,dz={\frac {\operatorname {cos} \,z}{2}}+{\frac {z}{2}}+C}
Эксеканс
Определение
Эксеканс определён через секанс как
exsec
ϑ
=
sec
ϑ
−
1.
{\displaystyle \operatorname {exsec} \,\vartheta =\sec \vartheta -1.}
Свойства
Эксеканс — периодическая функция с периодом
2
π
{\displaystyle 2\pi }
. Эксеканс определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.
exsec
{\displaystyle \operatorname {exsec} }
можно использовать в плоскости комплексных чисел.
d
d
z
exsec
z
=
tg
z
⋅
sec
z
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {exsec} \ z=\operatorname {tg} \ z\cdot \operatorname {sec} \ z}
∫
exsec
(
z
)
d
z
=
ln
[
cos
(
z
2
)
+
sin
(
z
2
)
]
−
ln
[
cos
(
z
2
)
−
sin
(
z
2
)
]
−
z
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {exsec} (z)\,\mathrm {d} z=\ln \left[\cos \left({\frac {z}{2}}\right)+\sin \left({\frac {z}{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {z}{2}}\right)-\sin \left({\frac {z}{2}}\right)\right]-z+C}
Экскосеканс
Определение
Экскосеканс определён через эксеканс и косеканс как
excsc
ϑ
=
exsec
(
π
2
−
ϑ
)
=
cosec
ϑ
−
1.
{\displaystyle \operatorname {excsc} \,\vartheta =\operatorname {exsec} \,\left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta \right)=\operatorname {cosec} \,\vartheta -1.}
Свойства
Экскосеканс — периодическая функция с периодом
2
π
{\displaystyle 2\pi }
. Экскосеканс определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.
excsc
{\displaystyle \operatorname {excsc} }
можно использовать в плоскости комплексных чисел.
d
d
z
excsc
z
=
−
ctg
z
⋅
sec
z
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {excsc} \ z=-\operatorname {ctg} \ z\cdot \operatorname {sec} \ z}
∫
excsc
(
z
)
d
z
=
ln
[
tan
(
z
2
)
]
−
z
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {excsc} (z)\,\mathrm {d} z=\ln \left[\tan \left({\frac {z}{2}}\right)\right]-z+C}
Ссылки
См. также