Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.
Описание метода
Пусть уравнение
-й степени имеет вид
.
|
(1)
|
Если
— произвольный корень кубического уравнения
|
(2)
|
(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
![{\displaystyle x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67274147c42d9503f8a5e87d11b7e29152fa4a04)
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.
Представим уравнение четвёртой степени в виде:
![{\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031156a1141e4aa871c59d69dfb4eac6ccef2671)
Его решение может быть найдено из следующих выражений:
![{\displaystyle \alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf40e61e0cfdd047de7c0fb618b2ca7b4fde5a3a)
![{\displaystyle \beta ={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724f68c9899f8074b101c1d4f6fb652055fc2b1a)
- если
, тогда, решив
и, сделав подстановку
, найдём корни:
.
![{\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07cc4027b50b5367dec3c00cb3bb142e6f36baa2)
![{\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e2b19452ffde9cdd5dc67f5bdb2cb14982198f)
, (любой знак квадратного корня подойдёт)
, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
![{\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{cases}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a927ab16077f14191a5374f7d7be272e389e7d1)
![{\displaystyle W={\sqrt {\alpha +2y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f424e2c915affe428681015af88652d9b8168696)
![{\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over W}\right)}} \over 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b27de8106d928f845bc993d22330d777842ae3)
- Здесь
и
— два независимых параметра, каждый из которых равен либо
, либо
. Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является кратным, количество дающих его пар значений
и
равно степени его кратности. В зависимости от выбора
(при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке.
Вывод
Пусть имеется уравнение канонического вида:
![{\displaystyle \ x^{4}+ax^{2}+bx+c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/243d4cde4520a74dd02ee7f8030c90e663f0fe90)
Обозначим корни уравнения как
.
Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение
![{\displaystyle \ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e82085d9a99883cf18a3ffaeddf3e7bba00a09fc)
Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это
![{\displaystyle \ x_{3}=-W+iV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0268c3a8aedf2eed299a3f95af8b1b3e82c4cc2a)
![{\displaystyle \ x_{4}=-W-iV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608404217285f92689008954de56f91964932075)
Причём
,
— действительные числа.
Тогда два других корня можно записать как
![{\displaystyle \ x_{1}=W+iK}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b04bfa99eb28b2225dd1e02204d9349fe54b604)
![{\displaystyle \ x_{2}=W-iK}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5823717b62e7ec433fbee1d14c91b378cb4cd85f)
Здесь
может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом.
Выразим a через корни уравнения
![{\displaystyle \ a=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+x_{3}x_{4}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b220028ed3c7cafe6c25cadd588fe0de5306542)
![{\displaystyle \ =(W^{2}+K^{2})+(W^{2}+V^{2})-4W^{2}=V^{2}+K^{2}-2W^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a33e34f8c1547f30837271c387fb35c000fa61)
Выразим К через остальные коэффициенты:
![{\displaystyle \ K^{2}=a+2W^{2}-V^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fbdae61410cd4378b1cbe5abfddc3f68d67bac5)
![{\displaystyle \ c=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=W^{4}+(V^{2}+K^{2})W^{2}+K^{2}V^{2}=W^{4}+2W^{4}+aV^{2}+2W^{2}V^{2}-V^{4}+aW^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79df67a60de9dc58853e7633214fb3d8b499641)
или
![{\displaystyle \ V^{4}-(a+2W^{2})V^{2}+c-3W^{4}-aW^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b653e016a87804b0f70a7d95a475704ccde489db)
Итого
![{\displaystyle \ V^{2}=1/2((a+2W^{2})\pm {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dbd027bcd83582d36aeb8c393aef0afb2fe021c)
![{\displaystyle \ b=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=(W^{2}+K^{2})\cdot (-2W)+(W^{2}+V^{2})\cdot (2W)=2W(V^{2}-K^{2})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb63eaa24f9c2933692318000e3bc18a1c1bf2b1)
![{\displaystyle \ =2W(2V^{2}-a-2W^{2})=2W\cdot {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5aa002bca49bad203916cd5ac56ac9697f6c63)
Или
Отсюда
Заменяя
, получаем резольвенту, решив которую, находим W
История
С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».
См. также
Ссылки