Лемма Ферма

Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

Предыстория

У Ньютона этот факт упоминался как т. н. принцип остановки:

Когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад.Исаак Ньютон

Выдвинут Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах.

Формулировка

Пусть функция $f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ имеет во внутренней точке области определения $x\in M^{0}$ локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные $f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$ конечные или бесконечные. Тогда

• если $x_{0}$ — точка локального максимума, то

  $f'_{+}(x_{0})\leqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\geqslant 0;$

• если $x_{0}$ — точка локального минимума, то

  $f'_{+}(x_{0})\geqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\leqslant 0.$

В частности, если функция $f$ имеет в $x_{0}$ производную, то

$f'(x_{0})=0.$

Доказательство

Предположим, что $f(x_{0})=\max _{x\in (a,b)}f(x)$. Тогда $\forall x\in (a,b)\colon f(x)\leqslant f(x_{0})$.

Поэтому:

$f'_{-}(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}-0}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)\geqslant 0,$

$f'_{+}(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}+0}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)\leqslant 0.$

Если производная $f'(x_{0})$ определена, то получаем

$0\leqslant f'_{-}(x_{0})=f'(x_{0})=f'_{+}(x_{0})\leqslant 0$,

то есть $f'(x_{0})=0$.

Если $x_{0}$ — точка локального минимума функции $f$, то доказательство аналогично.

Замечание

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует наличие локального экстремума в этой точке.

Примеры

• Пусть $f(x)=|x|$. Тогда $x=0$ — точка локального минимума, и

$f'_{+}(0)=1\geqslant 0$, $f'_{-}(0)=-1\leqslant 0$ (при этом сама функция не является дифференцируемой в точке $x=0$).

• Пусть $f(x)=x^{2}$. Тогда $x=0$ — точка локального минимума, и

$f'(0)=0$.

• Пусть $f(x)=x^{3}$. Тогда

$f'(0)=0$,

но точка $x=0$ не является точкой локального экстремума.

См. также

• Теорема Ролля
• Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции