Метод Феррари

Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.

Описание метода

Пусть уравнение $4$-й степени имеет вид

$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$.

(1)

Если $y_{1}$ — произвольный корень кубического уравнения

$y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0$

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

$x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}},$

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

$Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,$

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

$\alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},$

$\beta ={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},$

$\gamma =-{3B^{4} \over 256A^{4}}+{B^{2}C \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A},$

если $\beta =0$, тогда, решив $u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0$ и, сделав подстановку $x=u-{B \over 4A}$, найдём корни:

$x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2}},\qquad \beta =0$.

$P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,$

$Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},$

$R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}$, (любой знак квадратного корня подойдёт)

$U={\sqrt[{3}]{R}}$, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)

$y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{cases}},$

$W={\sqrt {\alpha +2y}}$

$x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over W}\right)}} \over 2}.$

Здесь $\pm _{s}$ и $\pm _{t}$ — два независимых параметра, каждый из которых равен либо $+$, либо $-$. Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является кратным, количество дающих его пар значений $\pm _{s}$ и $\pm _{t}$ равно степени его кратности. В зависимости от выбора $U$ (при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке.

Вывод

Пусть имеется уравнение канонического вида:

$\ x^{4}+ax^{2}+bx+c=0$

Обозначим корни уравнения как $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$. Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение

$\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0:$

Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это

$\ x_{3}=-W+iV$

$\ x_{4}=-W-iV$

Причём $W$, $V$ — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как

$\ x_{1}=W+iK$

$\ x_{2}=W-iK$

Здесь $K$ может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения

$\ a=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+x_{3}x_{4}=$

$\ =(W^{2}+K^{2})+(W^{2}+V^{2})-4W^{2}=V^{2}+K^{2}-2W^{2}$

Выразим К через остальные коэффициенты:

$\ K^{2}=a+2W^{2}-V^{2}$

$\ c=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=W^{4}+(V^{2}+K^{2})W^{2}+K^{2}V^{2}=W^{4}+2W^{4}+aV^{2}+2W^{2}V^{2}-V^{4}+aW^{2}$

или

$\ V^{4}-(a+2W^{2})V^{2}+c-3W^{4}-aW^{2}=0$

Итого

$\ V^{2}=1/2((a+2W^{2})\pm {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}})$

$\ b=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=(W^{2}+K^{2})\cdot (-2W)+(W^{2}+V^{2})\cdot (2W)=2W(V^{2}-K^{2})=$

$\ =2W(2V^{2}-a-2W^{2})=2W\cdot {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}}$

Или $\ b^{2}=4W^{2}\cdot (a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4})$

Отсюда $\ 64W^{6}+32aW^{4}+4(a^{2}-4c)W^{2}-b^{2}=0$

Заменяя $\ y=W^{2}$, получаем резольвенту, решив которую, находим W

История

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».

См. также

• Теорема Абеля — Руффини
• Формула Кардано

Ссылки

• Метод Феррари и разбор на примере
• Поэтапный разбор решения Феррари на примере (англ.)