Полиномы Белла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике, в частности в комбинаторике, полиномы Белла — это полиномы вида

где сумма берётся по всем последовательностям j1, j2, j3, ..., jnk+1 неотрицательных целых чисел таким, что

и

Полиномы Белла названы так в честь математика Э. Белла.

Полные полиномы Белла

[править | править код]

Сумма

иногда называется nполным полиномом Белла. Для отличия от полных полиномов Белла, полиномы Bnk, определённые выше, иногда называют «частичными» полиномами Белла.

Полные полиномы Белла удовлетворяют следующим условиям:

Комбинаторная интерпретация

[править | править код]

Если в разбиении числа n слагаемое 1 появляется j1 раз, 2 появляется j2 раза, и т.д., то количество разбиений множества мощности n, в котором мощности частей образуют это разбиение числа n, равно соответствующему коэффициенту полинома Белла.

Для n = 6, k = 2 мы имеем

потому что есть

  • 6 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 5 + 1,
  • 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 2,
  • 10 способов разбить множество мощности 6 на подножества мощностей 3 + 3.

Аналогично,

потому что есть

15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 1 + 1,
60 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 3 + 2 + 1, and
15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 2 + 2 + 2.

Связь с числами Стирлинга и Белла

[править | править код]

Значение полинома Белла Bn,k(x1, x2, …), где все xi равны 1 является числом Стирлинга второго рода:

Сумма

есть nчисло Белла (количество разбиений множества мощности n).

Тождество свертки

[править | править код]

Для последовательности xn, yn, n = 1, 2, …, определёна свёртка:

(Заметим, что пределы суммирования здесь 1 и n − 1, а не 0 и n.)

Положим, что есть n-й член последовательности

Тогда

Для примера вычислим . Так как

то

Применения

[править | править код]

Формула Фаа-ди-Бруно

[править | править код]

Формула Фаа-ди-Бруно может быть сформулирована в терминах полиномов Белла следующим образом:

Кроме того, мы можем использовать полиномы Белла, если

и

то

В частности, полные полиномы Белла появляются в разложении экспоненты формального степенного ряда

Моменты и кумулянты

[править | править код]

Сумма

есть nмомент распределения вероятностей, первые n кумулянтов которых равны κ1, …, κn. Другими словами, n-й момент равен значению n-го полного полинома Белла на первых n кумулянтах.

Представление полиномиальных последовательностей биномиального типа

[править | править код]

Для заданной последовательности чисел a1, a2, a3, … положим

Тогда эта последовательность полиномов имеет биномиальный тип, т.е. она удовлетворяет биномиальным условиям

для n ≥ 0.
Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа представляются в таком виде.

Eсли мы рассмотрим

как формальный степенной ряд, то для всех n,

Программное обеспечение

[править | править код]


  • Eric Temple Bell. Partition Polynomials (неопр.) // Annals of Mathematics. — 1927–1928. — Т. 29, № 1/4. — С. 38—46. — doi:10.2307/1967979. — JSTOR 1967979.
  • Louis Comtet. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions (англ.). — Dordrecht, Holland / Boston, U.S.: Reidel Publishing Company, 1974.
  • Steven Roman[англ.]. The Umbral Calculus (неопр.). — Dover Publications.
  • Khristo N. Boyadzhiev. Exponential Polynomials, Stirling Numbers, and Evaluation of Some Gamma Integrals (англ.) // Abstract and Applied Analysis[англ.] : journal. — 2009. — Vol. 2009. — P. Article ID 168672. — doi:10.1155/2009/168672. (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
  • Silvia Noschese, Paolo E. Ricci. Differentiation of Multivariable Composite Functions and Bell Polynomials (англ.) // Journal of Computational Analysis and Applications : journal. — 2003. — Vol. 5, no. 3. — P. 333—340. — doi:10.1023/A:1023227705558. '
  • Vassily G. Voinov, Mikhail S. Nikulin. On power series, Bell polynomials, Hardy-Ramanujan-Rademacher problem and its statistical applications (англ.) // Kybernetika : journal. — 1994. — Vol. 30, no. 3. — P. 343—358. — ISSN 00235954.
  • Kruchinin, V.V., 2011 , Derivation of Bell Polynomials of the Second Kind Архивная копия от 11 сентября 2015 на Wayback Machine(ArXiv)
  • Конспект лекции Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine по полиномам Белла, примеры