Теорема Менелая: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Tosha (обсуждение | вклад) м откат правок 188.244.165.28 (обс.) к версии 91.215.143.176 Метка: откат |
Нет описания правки Метки: отменено с мобильного устройства из мобильной версии |
||
Строка 6: | Строка 6: | ||
Если точки <math>A',B'</math> и <math>C'</math> лежат соответственно на сторонах <math>BC,CA</math> и <math>AB</math> треугольника <math>\triangle ABC</math> или на их продолжениях<ref>на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки</ref>, то они [[коллинеарные точки|коллинеарны]] тогда и только тогда, когда |
Если точки <math>A',B'</math> и <math>C'</math> лежат соответственно на сторонах <math>BC,CA</math> и <math>AB</math> треугольника <math>\triangle ABC</math> или на их продолжениях<ref>на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки</ref>, то они [[коллинеарные точки|коллинеарны]] тогда и только тогда, когда |
||
:<math>\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}= |
:<math>\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=1.</math> |
||
где <math>\frac{AB'}{B'C}</math>, <math>\frac{CA'}{A'B}</math> и <math>\frac{BC'}{C'A}</math> обозначают [[отношение направленных отрезков|отношения направленных отрезков]]. |
где <math>\frac{AB'}{B'C}</math>, <math>\frac{CA'}{A'B}</math> и <math>\frac{BC'}{C'A}</math> обозначают [[отношение направленных отрезков|отношения направленных отрезков]]. |
||
Версия от 19:39, 26 февраля 2021
Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях или теорема о полном четырёхстороннике — классическая теорема аффинной геометрии.
Формулировка
Если точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда
где , и обозначают отношения направленных отрезков.
Проведем через точку прямую, параллельную прямой , и обозначим через точку пересечения этой прямой с прямой . Поскольку треугольники и подобны (по двум углам), то
- .
Так как подобными являются также треугольники и , тем самым
- .
Исключая , получаем
- .
Остаётся заметить, что возможны два расположения точек и : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем
Замечания
- В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:
Вариации и обобщения
- Тригонометрический эквивалент:
- , где все углы — ориентированные.
- В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид
- В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид
История
Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.
Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.
Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.[2]
Применения
- Теорема Сальмона
- Многие теоремы проективной геометрии, например Теорема Паппа и Теорема Дезарга доказываются многократным применением теоремы Менелая.
См. также
Примечания
- ↑ на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки
- ↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678
Ссылки
- Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. —(Библиотечка «Квант»)).
- Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — 334 с. Архивная копия от 2 марта 2005 на Wayback Machine
- Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания).. — Москва: Ленанд", 2015. — 352 с. — ISBN 978-5-9710-2186-5.
- Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 73-74. — ISBN 5-94057-170-0.
- Шаль, Мишель. О теореме Птоломея относительно треугольника, пересечённого трансверсалью // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М., 1883. — Т. 2.
- Sidoli N. The sector theorem attributed to Menelaus // SCIAMVS. — 2006. — № 7. — С. 43–79.