Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения[1]. Представим вектор длина которого искома, двумя способами:
Первое уравнение домножим на длину , а второе — на
Теперь сложим полученные уравнения:
где так как и имеют равные длины и противоположны. Следовательно, сам вектор равен
Его длину можно получить с помощью скалярного произведения вектора на самого себя:
Далее, чтобы выразить через длины, нужно найти
Отсюда окончательно получается, что
Через теорему косинусов
Выразим AB и AC через остальные стороны треугольников ABC и ACD и через углы и смежные друг другу:
Умножим первое уравнение на , а второе — на
Чтобы избавиться от косинуса угла ABD, сложим эти равенства:
История
Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.
Теорема Стюарта обобщается до равенства Бретшнайдера для четырёхугольника: если одна вершина четырёхугольника попадает на сторону четырёхугольника, то из теоремы Бретшнайдера следует теорема Стюарта.
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр. 53.
В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр. 302—303.
Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540 с.