Соотношение Бретшнайдера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, аналог теоремы косинусов.

Формулировка[править | править код]

Четырехугольник

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

Замечания[править | править код]

  • Эквивалентные формулировки
    ,

Доказательство[править | править код]

Следствия[править | править код]

  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник (одна вершина попадает на сторону), то получается теорема Стюарта.
  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник и одна вершина попадает на середину стороны, то с учётом равенства основного угла и дополнительного также получается Теорема Аполлония.
  • Если четырёхугольник вписан в окружность, то . Тогда из предпоследней формулы выше следует первая теорема Птолемея: .
  • Если D — центр описанной окружности треугольника ABC, то DA = DB = DC. Используя теорему об углах вписанных в окружность, получим теорему косинусов для треугольника ABC.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]