Алгебраическое расширение

Алгебраи́ческое расшире́ние — расширение поля $E\supset K$, каждый элемент $\alpha$ которого алгебраичен над $K$, т.е. существует многочлен $f(x)$ с коэффициентами из $K$ для которого $\alpha$ является корнем.

Свойства

• все конечные расширения алгебраичны.

Пусть KÌ EÌ F. Если EÉ K и FÉ E алгебраичны, то и FÉ K алгебраично. Обратно, если FÉ K алгебраично, то и EÉ K и FÉ K алгебраичны.

В самом деле, если α — какой-нибудь элемент F, то он по определению является корнем некоторого многочлена f(x) с коэффициентами a₁,...a_n из E. Так как все эти a_i алгебраичны над K, то расширение K(a₁,...a_n) является конечным над K, а так как α алгебраично над L=K(a₁,...a_n), то имеем по свойству башни конечных расширений, что L(α) конечно над K, а элемент α алгебраичен над K. Обратное утверждение очевидно.

Если α и β алгебраичны над K, то из предыдущего следует, что K(α,β)=K(α)(β) алгебраично над K, а значит, α+β,α-β,αβ,α/β тоже алгебраичны. Отсюда следует, что если KÌ E, то множество элементов K^*Ì E, алгебраических над К образуют поле. Если E является алгебраически замкнутым, то и K^* алгебраически замкнуто. Если взять за K поле рациональных чисел R, а за E алгебраически замкнутое по основной теореме алгебры поле комплексных чисел C, то получим поле алгебраических чисел A.

Если EÌ K алгебраично, то для любого расширения FÌ K то (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является алгебраическим расширением F). Это легко следует из предыдущего.

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967