Алгебраическое расширение: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
м робот добавил: nl:Algebraïsche uitbreiding |
Rasim (обсуждение | вклад) викификация, шаблон (см комментарий) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Алгебраи́ческое расшире́ние''' |
'''Алгебраи́ческое расшире́ние''' — [[расширение поля]] <math>E\supset K</math>, каждый элемент <math>\alpha</math> которого алгебраичен над <math>K</math>, то есть существует [[многочлен]] <math>f(x)</math> с коэффициентами из <math>K</math> для которого <math>\alpha</math> является корнем. |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
*все [[Конечное расширение|конечные расширения]] алгебраичны. |
* все [[Конечное расширение|конечные расширения]] алгебраичны. |
||
Пусть ''K<span style='font-family: |
Пусть ''K<span style='font-family: |
||
Строка 9: | Строка 9: | ||
Symbol'>Ì</span> F''. Если ''E<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> E'' алгебраичны, то и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраично. Обратно, если ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраично, то и ''E<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраичны. |
Symbol'>Ì</span> F''. Если ''E<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> E'' алгебраичны, то и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраично. Обратно, если ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраично, то и ''E<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраичны. |
||
В самом деле, если ''α'' |
В самом деле, если ''α'' — какой-нибудь элемент ''F'', то он по определению является корнем некоторого многочлена ''f(x)'' с коэффициентами ''a<sub>1</sub>,…a<sub>n</sub>'' из ''E''. Так как все эти ''a<sub>i</sub>'' алгебраичны над ''K'', то расширение ''K(a<sub>1</sub>,…a<sub>n</sub>)'' является [[Конечное расширение|конечным]] над ''K'', а так как ''α'' алгебраично над ''L=K(a<sub>1</sub>,…a<sub>n</sub>)'', то имеем по свойству башни конечных расширений, что ''L(α)'' конечно над ''K'', а элемент α алгебраичен над ''K''. Обратное утверждение очевидно. |
||
Если ''α'' и ''β'' алгебраичны над ''K'', то из предыдущего следует, что ''K(α,β)=K(α)(β)'' алгебраично над ''K'', а значит, ''α+β,α-β,αβ,α/β'' тоже алгебраичны. Отсюда следует, что если ''K<span style='font-family: |
Если ''α'' и ''β'' алгебраичны над ''K'', то из предыдущего следует, что ''K(α,β)=K(α)(β)'' алгебраично над ''K'', а значит, ''α+β,α-β,αβ,α/β'' тоже алгебраичны. Отсюда следует, что если ''K<span style='font-family: |
||
Строка 20: | Строка 20: | ||
== Литература == |
== Литература == |
||
* Ван дер Варден Б.Л. |
* Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975 |
||
* Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963 |
* Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963 |
||
* Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967 |
* Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967 |
||
{{rq|cleanup}}<!-- Имеется ввиду переделать символы типа <span style='font-family: |
|||
Symbol'>Ì</span> в формулы Tex --> |
|||
[[Категория:Абстрактная алгебра]] |
[[Категория:Абстрактная алгебра]] |
Версия от 12:48, 6 апреля 2010
Алгебраи́ческое расшире́ние — расширение поля , каждый элемент которого алгебраичен над , то есть существует многочлен с коэффициентами из для которого является корнем.
Свойства
- все конечные расширения алгебраичны.
Пусть KÌ EÌ F. Если EÉ K и FÉ E алгебраичны, то и FÉ K алгебраично. Обратно, если FÉ K алгебраично, то и EÉ K и FÉ K алгебраичны.
В самом деле, если α — какой-нибудь элемент F, то он по определению является корнем некоторого многочлена f(x) с коэффициентами a1,…an из E. Так как все эти ai алгебраичны над K, то расширение K(a1,…an) является конечным над K, а так как α алгебраично над L=K(a1,…an), то имеем по свойству башни конечных расширений, что L(α) конечно над K, а элемент α алгебраичен над K. Обратное утверждение очевидно.
Если α и β алгебраичны над K, то из предыдущего следует, что K(α,β)=K(α)(β) алгебраично над K, а значит, α+β,α-β,αβ,α/β тоже алгебраичны. Отсюда следует, что если KÌ E, то множество элементов K*Ì E, алгебраических над К образуют поле. Если E является алгебраически замкнутым, то и K* алгебраически замкнуто. Если взять за K поле рациональных чисел R, а за E алгебраически замкнутое по основной теореме алгебры поле комплексных чисел C, то получим поле алгебраических чисел A.
Если EÌ K алгебраично, то для любого расширения FÌ K то (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является алгебраическим расширением F). Это легко следует из предыдущего.
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
Для улучшения этой статьи желательно:
|