Комплексная функция

Термин комплексная функция может относиться к двум видам функций:

Комплекснозначная функция

Комплекснозначная функция — функция вещественного переменного, имеющая комплексные значения:

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$.

Такая функция может быть представлена в виде

$\!f(x)=u(x)+iv(x)$,

где $\!u(x)$ и $\!v(x)$ — вещественные функции. Функция $\!u(x)$ называется вещественной частью функции $\!f(x)$, а $\!v(x)$ — её мнимой частью.

Функция комплексного переменного

Это понятие — обобщение предыдущего варианта:

$f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$.

Такими функциями занимается отдельная область математического анализа — теория функций комплексного переменного, или комплексный анализ.

Функция также может быть представлена в виде

$\!f(z)=u(z)+iv(z)$,

однако имеется более глубокая связь между $u$ и $v$. Например, для того, чтобы функция $f(z)$ была дифференцируема, должны выполняться условия Коши — Римана:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$;

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$.

Примерами аналитических функций комплексного переменного являются: степенная функция, экспонента, гамма-функция, дзета-функция Римана и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа $\mathrm {Re} \,z$, мнимая часть $\mathrm {Im} \,z$, комплексное сопряжение ${\bar {z}}$, модуль $r=|z|$ и аргумент $\varphi (z)$ аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши — Римана.

См. также

• Комплексное число
• Комплексный анализ

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.—Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.