Экспонента

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График экспоненты.
Касательная в нуле у функции e^x наклонена на \pi/4
Рядом для примера показаны 2^x (точками) и 4^x (пунктиром)

Экспоне́нта — показательная функция \exp(x)=e^x, где e — Число Эйлера (e = 2.7182818284590452...).

Определение[править | править исходный текст]

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

e^x = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

или через предел:

e^x=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n

Здесь x — любое комплексное число.

Свойства[править | править исходный текст]

  • (e^x)'=e^x, в частности
  • Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
  • Экспонента — выпуклая функция.
  • Обратная функция к ней — натуральный логарифм \ln~x.
  • Фурье-образ экспоненты не существует
  • однако преобразование Лапласа существует
  • Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.
  • Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:
    \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b).
    • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид \exp(cx), где c — некоторая константа.

Комплексная экспонента[править | править исходный текст]

График экспоненты в комплексной плоскости.
Легенда

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением f(z)=e^z, где z есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты f(x)=e^x вещественного переменного x:

Определим формальное выражение

e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}.

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции e^z, то есть показать, что e^z разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}

Сходимость данного ряда легко доказывается:

\left|e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|=\left|\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\sum_{n=0}^\infty\left|\frac{x^n}{n!}\right|=e^{|x|}.

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции f(z)=e^z. Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция e^z всюду определена и аналитична.

Свойства[править | править исходный текст]

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента[править | править исходный текст]

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

\exp A=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}.

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора A с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы A: \exp \|A\|. Следовательно, экспонента от матрицы A \in \Bbb{R}^{n\times n} всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение \dot x=Ax, ~~~ x\in \mathbb R^n с начальным условием x(0)=x_0 имеет своим решением x(t)=\exp (At) x_0.

Обратная функция[править | править исходный текст]

Обратной функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается \ln x\,:

\ln x = \log_{e} x.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
  • Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Ссылки[править | править исходный текст]