Подпространство

Подпростра́нство — понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в различных разделах математики.

Подпространство — непустое подмножество некоторого пространства (аффинного, векторного, проективного, топологического, метрического и др.), которое само является пространством соответствующего типа со свойствами, индуцированными объемлющим пространством.

Примеры

• Непустое подмножество $B\subset A$ векторного (линейного) пространства $A$ над полем $F$ является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов $x,y\in B$ сумма $x+y\in B$ и для всякого вектора $x\in B$ и любого $\alpha \in F$ вектор $\alpha x\in B$. В частности, подпространство $B$ обязательно содержит нулевой вектор пространства $A$ (он также является нулевым вектором векторного пространства $B$).

• Векторное подпространство $B\subset A$ называется собственным подпространством, если $B\neq A$ и $B$ содержит хотя бы один ненулевой вектор.

• Векторное подпространство $B\subset A$ называется инвариантным подпространством линейного отображения $L:A\to A$, если $L(B)\subset B$, то есть $L(x)\in B$ для любого вектора $x\in B$.

• Подпространство $B\subset A$ метрического пространства $A$ с метрикой $\rho$ обладает индуцированной метрикой $\rho '$, которая определена формулой $\rho '(x,y)=\rho (x,y)$ для любых $x,y\in B$.

• Подпространство $B\subset A$ топологического пространства $A$ с топологией $\tau$ обладает индуцированной топологией $\tau '$, открытыми множествами в которой являются множества $G_{\tau '}=G_{\tau }\cap B$, где $G_{\tau }$ — всевозможные открытые множества в топологии $\tau$.