Двойственное пространство: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
м Wikisaurus переименовал страницу Сопряжённое пространство в Двойственное пространство поверх перенаправления: сопряжённый обычно только оператор, а пространство именно двойственное |
Нет описания правки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
''' |
'''Двойственное пространство''' (иногда '''сопряжённое пространство''') — пространство [[линейный функционал|линейных функционалов]] на заданном [[векторное пространство|векторном пространстве]]. |
||
== Определение == |
== Определение == |
||
Множество всех [[Линейный непрерывный оператор|непрерывных линейных функционалов]], определённых на [[Топологическое векторное пространство|топологическом векторном пространстве]] <math>E</math>, также образует векторное пространство. Это пространство называется ''сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^*</math>. Множество всех линейных функционалов на <math>E</math>, не обязательно непрерывных, называется ''алгебраически сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^{\#}</math>.<ref name=autogenerated1>''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Фомин, Сергей Васильевич|Фомин С. В.]]'' Элементы теории функций и функционального анализа. |
Множество всех [[Линейный непрерывный оператор|непрерывных линейных функционалов]], определённых на [[Топологическое векторное пространство|топологическом векторном пространстве]] <math>E</math>, также образует векторное пространство. Это пространство называется ''сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^*</math>. Множество всех линейных функционалов на <math>E</math>, не обязательно непрерывных, называется ''алгебраически сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^{\#}</math>.<ref name=autogenerated1>''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Фомин, Сергей Васильевич|Фомин С. В.]]'' Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.</ref> |
||
В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство <math>E</math> конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство <math>E^* = E^{\#}</math> состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на <math>E</math>. В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда <math>E</math> бесконечномерное, вообще говоря, <math>E^* \neq E^{\#}</math>.<ref name=autogenerated1 /> |
В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство <math>E</math> конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство <math>E^* = E^{\#}</math> состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на <math>E</math>. В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда <math>E</math> бесконечномерное, вообще говоря, <math>E^* \neq E^{\#}</math>.<ref name=autogenerated1 /> |
||
Строка 12: | Строка 12: | ||
=== Конечномерные пространства<ref>''Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 7. — М.: Физматлит, 2009.</ref> === |
=== Конечномерные пространства<ref>''Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 7. — М.: Физматлит, 2009.</ref> === |
||
* Сопряжённое пространство <math>E^*</math> имеет ту же [[Размерность пространства|размерность]], что и пространство <math>E</math> над полем <math>F</math>. Следовательно, пространства <math>E</math> и <math>E^{*}</math> [[Изоморфизм|изоморфны]]. |
* Сопряжённое пространство <math>E^*</math> имеет ту же [[Размерность пространства|размерность]], что и пространство <math>E</math> над полем <math>F</math>. Следовательно, пространства <math>E</math> и <math>E^{*}</math> [[Изоморфизм|изоморфны]]. |
||
*Каждому базису <math>e^1, \ldots, e^n</math> пространства <math>E</math> можно поставить в соответствие так называемый ''двойственный'' (или ''взаимный'') базис'' <math>e_1, \ldots, e_n</math> пространства <math>E^*</math>, где функционал <math>e_i</math> — проектор на вектор <math>e^i</math>: |
* Каждому базису <math>e^1, \ldots, e^n</math> пространства <math>E</math> можно поставить в соответствие так называемый ''двойственный'' (или ''взаимный'') базис'' <math>e_1, \ldots, e_n</math> пространства <math>E^*</math>, где функционал <math>e_i</math> — проектор на вектор <math>e^i</math>: |
||
: <math>e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E.</math> |
: <math>e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E.</math> |
||
* Если пространство <math>E</math> [[евклидово пространство|евклидово]], то есть на нём определено [[скалярное произведение]], то между <math>E</math> и <math>E^*</math> существует так называемый ''канонический изоморфизм'', определённый соотношением |
* Если пространство <math>E</math> [[евклидово пространство|евклидово]], то есть на нём определено [[скалярное произведение]], то между <math>E</math> и <math>E^*</math> существует так называемый ''канонический изоморфизм'', определённый соотношением |
||
: <math>v \in E \mapsto f \in E^*, \quad f(x) = \langle x, v \rangle, \ \forall x\in E.</math> |
: <math>v \in E \mapsto f \in E^*, \quad f(x) = \langle x, v \rangle, \ \forall x\in E.</math> |
||
* Второе сопряжённое пространство <math>E^{**}</math> изоморфно <math>E</math>. Более того, существует ''канонический изоморфизм'' между <math>E</math> и <math>E^{**}</math> (при этом не предполагается, что пространство <math>E</math> евклидово), определённый соотношением |
* Второе сопряжённое пространство <math>E^{**}</math> изоморфно <math>E</math>. Более того, существует ''канонический изоморфизм'' между <math>E</math> и <math>E^{**}</math> (при этом не предполагается, что пространство <math>E</math> евклидово), определённый соотношением |
||
Строка 21: | Строка 21: | ||
=== Бесконечномерные пространства === |
=== Бесконечномерные пространства === |
||
* Если векторное пространство <math>E</math> [[Нормированное пространство|нормированное]], то сопряжённое пространство <math>E^*</math> имеет естественную норму |
* Если векторное пространство <math>E</math> [[Нормированное пространство|нормированное]], то сопряжённое пространство <math>E^*</math> имеет естественную норму — это [[операторная норма]] непрерывных функционалов. Пространство <math>E^*</math> — [[банахово пространство|банахово]]<ref>''[[Люстерник, Лазарь Аронович|Люстерник Л. А.]], [[Соболев, Владимир Иванович (математик)|Соболев В. И.]]'' Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965, стр. 147.</ref><ref name=autogenerated1 />. |
||
* Если пространство <math>E</math> [[Гильбертово пространство|гильбертово]], то по [[Теорема представлений Рисса|теореме Рисса]] существует изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^*</math>, причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства <math>E</math><ref>''Халмош П.'' Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.</ref>. |
* Если пространство <math>E</math> [[Гильбертово пространство|гильбертово]], то по [[Теорема представлений Рисса|теореме Рисса]] существует изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^*</math>, причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства <math>E</math><ref>''Халмош П.'' Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.</ref>. |
||
Строка 33: | Строка 33: | ||
== См. также == |
== См. также == |
||
*[[Ковариантность и контравариантность (математика)|Ковариантность и контравариантность]] |
* [[Ковариантность и контравариантность (математика)|Ковариантность и контравариантность]] |
||
*[[Рефлексивное пространство]] |
* [[Рефлексивное пространство]] |
||
== Примечания == |
== Примечания == |
Версия от 19:05, 9 сентября 2018
Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.
Определение
Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом векторном пространстве , также образует векторное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается . Множество всех линейных функционалов на , не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к , оно обычно обозначается .[1]
В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на . В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда бесконечномерное, вообще говоря, .[1]
В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный индекс).
Свойства
Конечномерные пространства[2]
- Сопряжённое пространство имеет ту же размерность, что и пространство над полем . Следовательно, пространства и изоморфны.
- Каждому базису пространства можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис пространства , где функционал — проектор на вектор :
- Если пространство евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между и существует так называемый канонический изоморфизм, определённый соотношением
- Второе сопряжённое пространство изоморфно . Более того, существует канонический изоморфизм между и (при этом не предполагается, что пространство евклидово), определённый соотношением
- Определенный выше канонический изоморфизм показывает, что пространства и играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для часто пишут подобно записи скалярного произведения.
Бесконечномерные пространства
- Если векторное пространство нормированное, то сопряжённое пространство имеет естественную норму — это операторная норма непрерывных функционалов. Пространство — банахово[3][1].
- Если пространство гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между и , причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства [4].
- Сопряжённым к пространству , , является пространство , где . Аналогично, сопряжённым к , , является с тем же соотношением между p и q.
Вариации и обобщения
- Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для векторных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с как вещественное векторное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
- При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 3 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.
- ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 7. — М.: Физматлит, 2009.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965, стр. 147.
- ↑ Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.
Литература
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |