Теорема Крылова — Боголюбова

Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и для марковских процессов

Теорема доказана математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым. (переиздано в).

Динамическая формулировка

Пусть $F$ — непрерывное отображение метрического компакта $X$ в себя. Тогда на $X$ существует хотя бы одна $F$-инвариантная мера $\mu$, которая может быть выбрана таким образом, что она будет неразложимой, или эргодической.

Замечания

• Условие $F$-инвариантности, $F_{*}\mu =\mu$, означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,

  $\forall A\in {\mathcal {B}}(X)\quad \mu (F^{-1}(A))=\mu (A);$

при этом в случае необратимого отображения $F$ мера $F(A)$ не обязана равняться мере $A$.

• Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности $x\mapsto 2x\mod 1$, однако мера дуги $\left[0,{\frac {1}{3}}\right]$ не равна мере её образа, дуги $\left[0,{\frac {2}{3}}\right]$.

Доказательство

Доказательство теоремы опирается на так называемую процедуру Крылова — Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.

А именно, берётся произвольная начальная мера $\mu _{0}$, и рассматривается последовательность её временных средних:

${\bar {\mu }}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}F_{*}^{j}(\mu _{0}).$

Временные средние являются всё более и более $F$-инвариантными:

$F_{*}{\bar {\mu }}_{n}={\bar {\mu }}_{n}+{\frac {1}{n}}(F_{*}^{n}(\mu _{0})-\mu _{0}).$

Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения $F$. Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте $F$ компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности ${\bar {\mu }}_{n}$ найдётся — что и завершает доказательство. ■

Замечания

• В случае, если в качестве меры $\mu _{0}$ берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности ${\bar {\mu }}_{n}$ соответствует существованию меры Синая — Рюэлля — Боуэна.

Формулировка для марковских процессов

Пусть X — польское пространство и пусть (P_t) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, то есть

$\Pr[X_{t}\in A|X_{0}=x]=P_{t}(x,A).$

Если существует $x\in X$, для которого семейство вероятностных мер { P_t(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (P_t) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (P_t), то есть такая вероятностная мера μ на X, что

$(P_{t})_{\ast }(\mu )=\mu ,\quad \forall t>0.$

Вариации и обобщения

• Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.

Литература

• Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. — М.: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7.