Экситон Ванье — Мотта

Экситон Ванье — Мотта
Состав	Квазичастица
Классификация	Экситон Френкеля
Семья	Бозон
Группа	Экситон
Теоретически обоснована	Френкелем в 1931 году
Квантовые числа
Спин	Целый

Экситон Ванье — Мотта — экситон, радиус которого значительно превышает характерный период решётки кристалла (в отличие от экситонов Френкеля).

Экситоны Ванье — Мотта существуют в полупроводниках за счёт высокой диэлектрической проницаемости последних. Высокая диэлектрическая проницаемость приводит к ослаблению электростатического притяжения между электроном и дыркой, что и приводит к большому радиусу экситона.

О происхождении термина

Само понятие экситон было предложено Френкелем в 1931 году. Френкель высказал и обосновал идею существования таких квазичастиц. Представление об экситоне большого радиуса, как об одном из предельных случаев экситона вообще, базируется на теоретической работе Ванье, но окончательно сформулировано в работах Мотта. Поэтому такая квазичастица получила название экситона Ванье — Мотта.

Энергетический спектр экситона

Трёхмерный случай

Для расчёта энергетического спектра экситона Ванье — Мотта воспользуемся простейшей моделью. Поскольку расстояние между электроном и дыркой велико, то можно пользоваться методом эффективной массы. Будем считать массы электрона и дырки изотропными, а взаимодействие между ними — определяемым законом Кулона. Тогда уравнение Шрёдингера для такой системы будет иметь вид:

$\left({\frac {{\hat {p}}_{e}^{2}}{2m_{e}}}+{\frac {{\hat {p}}_{h}^{2}}{2m_{h}}}-{\frac {e^{2}}{{\varepsilon }r}}\right)\Psi =E\Psi$

Замена переменных, разделяющая поступательное движение центра масс и вращательное движение частиц вокруг центра масс, приводит уравнение к виду

$\left({\frac {{\hat {p}}_{ex}^{2}}{2\mu }}-{\frac {e^{2}}{{\varepsilon }r}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=\left(E-{\frac {\hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}\right)\Phi (\mathbf {r} )$

Здесь $M=m_{e}+m_{h}$, $\mu =\left({\tfrac {1}{m_{e}}}+{\tfrac {1}{m_{h}}}\right)^{-1}$ — приведённая масса, $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{e}-\mathbf {r} _{h}$.

Данное уравнение аналогично уравнению Шрёдингера для атома водорода. Отсюда следует, что дисперсионная зависимость энергии экситона имеет вид

$E_{n}(k_{ex})=-{\frac {{\mu }e^{4}}{2\hbar ^{2}\varepsilon ^{2}n^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}=-{\frac {R_{ex}}{n^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}$

Величина $R_{ex}={\tfrac {\mu e^{4}}{2\hbar ^{2}\varepsilon ^{2}}}$ по аналогии с Ридбергом для атома водорода называется экситонным Ридбергом.

Влияние экранирования

При больших концентрациях носителей заряда в полупроводнике существенным становится экранирование кулоновского взаимодействия и может происходить разрушение экситонов Ванье — Мотта. При наличии свободных носителей потенциал кулоновского взаимодействия имеет вид

$V(r)={e^{2} \over \varepsilon r}e^{-r/r_{D}}$,

где $r_{D}={\mathcal {E}}kT/4\pi e^{2}N$ — дебаевский радиус экранирования. Здесь $N$ — концентрация свободных носителей заряда.

Если радиус первого экситонного состояния с $n=1$ $a_{ex}={\tfrac {\hbar ^{2}\varepsilon }{\mu e^{2}}}$ (боровский радиус экситона Ванье — Мотта), то условие исчезновения экситонной серии вследствие экранировки: $a_{ex}>r_{D}$. Для экситона Ванье — Мотта в кристаллах $Ge$ это условие выполняется при концентрации доноров ~10¹⁷ см⁻³ и Т=77 К. Таким образом, для наблюдения слабосвязанных экситонов в полупроводниках необходимы низкие температуры и чистые кристаллы.

Проявления экситонного спектра

Спектр поглощения вблизи края запрещённой зоны в прямозонном полупроводнике с участием экситонов (сплошные линии) и без учёта экситонных эффектов (штриховая линия).

Экситоны Ванье — Мотта отчётливо проявляются в спектрах поглощения полупроводников в виде узких линий, сдвинутых на величину $E_{n}$ ниже края оптического поглощения. Водородоподобный спектр экситонов Ванье — Мотта впервые наблюдался в спектре поглощения Cu₂O в 1952 году E. Ф. Гроссом и H. А. Карыевым и независимо — M. Хаяси (M. Hayasi) и К. Кацуки (К. Katsuki), но экситонная интерпретация его в работе японских авторов отсутствовала. Экситоны проявляются также в спектрах люминесценции, в фотопроводимости, в эффекте Штарка и эффекте Зеемана.

Литература

• Гросс Е. Ф. Экситон и его движение в кристаллической решетке, — «Успехи физических наук», 1962, т. 76, в. 3;
• Нокс Р. Теория экситонов, пер. с англ., — М., 1966;
• Агранович В. М. Теория экситонов. — М., 1968;
• Давыдов А. С. Теория молекулярных экситонов. — М., 1968;
• Экситоны в полупроводниках, [Сб. статей], — М., 1971;
• Осипьян Ю. А. Физика твердого тела выходит на передовые позиции, — «Природа», 1975, № 10.